(1) Pontoe) Considere a matriz
A=(lll 3 & 0 & 1 0 & 2 & 0 0 & 5 & 1 )
(a) Caso exista, calcule a inversa de A.
(b) Use o item (a) para encontrar o conjunto solução do sistema A X=B,
onde B=(c 3 1 0 )

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma matriz A e precisamos fazer duas coisas:
a) Verificar se A tem inversa e, se tiver, calcular essa inversa.
b) Usar essa inversa para resolver o sistema linear A X = B , onde B é um vetor dado.
Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular a inversa de uma matriz e como usar essa inversa para resolver sistemas lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a matriz A tem inversa. Uma matriz inversível é aquela que tem determinante diferente de zero.
A matriz A é:
A = 3 & 0 & 1 0 & 2 & 0 0 & 5 & 1
Vamos calcular o determinante de A .

Passo 3

Para calcular o determinante de uma matriz 3x3, podemos usar a regra de Sarrus ou a expansão por cofatores. Vou usar a expansão por cofatores na primeira linha:
det(A) = a11 cdot det(M11) - a12 cdot det(M12) + a13 cdot det(M13)
Onde Mij é a matriz menor que resulta ao remover a i-ésima linha e a j-ésima coluna.

Passo 4

Vamos calcular cada termo:
  • a11 = 3
M11 = 2 & 0 5 & 1 Rightarrow det(M11) = (2)(1) - (0)(5) = 2
  • a12 = 0
M12 = 0 & 0 0 & 1 Rightarrow det(M12) = (0)(1) - (0)(0) = 0
  • a13 = 1
M13 = 0 & 2 0 & 5 Rightarrow det(M13) = (0)(5) - (2)(0) = 0

Passo 5

Agora, substituindo na fórmula do determinante:
det(A) = 3 cdot 2 - 0 cdot 0 + 1 cdot 0 = 6
Como o determinante é 6, que é diferente de zero, a matriz A tem inversa.

Passo 6

Agora vamos calcular a inversa de A . A fórmula para a inversa de uma matriz A é:
A^-1 = 1det(A) cdot adj(A)
Onde adj(A) é a matriz adjunta de A .

Passo 7

Para encontrar adj(A) , precisamos calcular a matriz dos cofatores de A e depois transpor essa matriz.
Vamos calcular cada cofator Cij de A :
Cij = (-1)^i+j cdot det(Mij)
Já calculamos alguns determinantes menores, agora vamos completar os demais.

Passo 8

Calculando os cofatores:
  • C11 = (-1)^1+1 cdot det(M11) = 1 cdot 2 = 2
  • C12 = (-1)^1+2 cdot det(M12) = -1 cdot 0 = 0
  • C13 = (-1)^1+3 cdot det(M13) = 1 cdot 0 = 0
  • C21 = (-1)^2+1 cdot det(M21)
M21 = 0 & 1 5 & 1 Rightarrow det(M21) = (0)(1) - (1)(5) = -5 Rightarrow C21 = -1 cdot (-5) = 5
  • C22 = (-1)^2+2 cdot det(M22)
M22 = 3 & 1 0 & 1 Rightarrow det(M22) = (3)(1) - (1)(0) = 3 Rightarrow C22 = 1 cdot 3 = 3
  • C23 = (-1)^2+3 cdot det(M23)
M23 = 3 & 0 0 & 5 Rightarrow det(M23) = (3)(5) - (0)(0) = 15 Rightarrow C23 = -1 cdot 15 = -15
  • C31 = (-1)^3+1 cdot det(M31)
M31 = 0 & 1 2 & 0 Rightarrow det(M31) = (0)(0) - (1)(2) = -2 Rightarrow C31 = 1 cdot (-2) = -2
  • C32 = (-1)^3+2 cdot det(M32)
M32 = 3 & 1 0 & 0 Rightarrow det(M32) = (3)(0) - (1)(0) = 0 Rightarrow C32 = -1 cdot 0 = 0
  • C33 = (-1)^3+3 cdot det(M33)
M33 = 3 & 0 0 & 2 Rightarrow det(M33) = (3)(2) - (0)(0) = 6 Rightarrow C33 = 1 cdot 6 = 6

Passo 9

Agora, organizamos os cofatores na matriz dos cofatores:
Cof(A) = 2 & 0 & 0 5 & 3 & -15 -2 & 0 & 6
A adjunta de A é a transposta da matriz dos cofatores:
adj(A) = 2 & 5 & -2 0 & 3 & 0 0 & -15 & 6

Passo 10

Agora, podemos calcular a inversa de A :
A^-1 = 1det(A) cdot adj(A) = 16 cdot 2 & 5 & -2 0 & 3 & 0 0 & -15 & 6 = 26 & 56 & -26 0 & 36 & 0 0 & -156 & 66
Simplificando as frações:
A^-1 = 13 & 56 & -13 0 & 12 & 0 0 & -52 & 1

Passo 11

Pronto! Calculamos a inversa de A . Agora, vamos para a parte (b), onde usamos essa inversa para resolver o sistema A X = B .
Dado que B = 3 1 0 , podemos encontrar X multiplicando ambos os lados pela inversa de A :
X = A^-1 B

Passo 12

Vamos multiplicar A^-1 por B :
X = 13 & 56 & -13 0 & 12 & 0 0 & -52 & 1 3 1 0
Fazendo a multiplicação linha por coluna:
  • Primeiro elemento de X :
(13)(3) + (56)(1) + (-13)(0) = 1 + 56 + 0 = 116
  • Segundo elemento de X :
0 cdot 3 + (12)(1) + 0 cdot 0 = 0 + 12 + 0 = 12
  • Terceiro elemento de X :
0 cdot 3 + (-52)(1) + 1 cdot 0 = 0 - 52 + 0 = -52

Passo 13

Então, o vetor solução X é:
X = 116 12 -52

Resposta

(a) A inversa de A é
A^-1 = 13 & 56 & -13 0 & 12 & 0 0 & -52 & 1
(b) O conjunto solução do sistema A X = B é
X = 116 12 -52

Exercícios relacionados