(11 Pontos) Calcule o determinante de
A=(llll 1 & 1 & 0 & 0 1 & 2 & 0 & 2 0 & 0 & 1 & 0 2 & 4 & 0 & 4 )

Passo 1

Beleza! Vamos calcular o determinante da matriz A que é uma matriz 4x4. O determinante é um número especial que pode nos dizer várias coisas sobre a matriz, como se ela tem inversa ou qual é o fator de escala que a matriz aplica. Para resolver isso, vamos usar algumas propriedades de determinantes e simplificar a matriz para facilitar o cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a matriz A :
A = 1 & 1 & 0 & 0 1 & 2 & 0 & 2 0 & 0 & 1 & 0 2 & 4 & 0 & 4
Notamos que a terceira coluna tem dois zeros, o que pode ajudar a simplificar o cálculo do determinante. Além disso, a quarta coluna também tem zeros, o que é útil.

Passo 3

Vamos usar o método de expansão por cofatores na terceira coluna, já que ela tem mais zeros. A fórmula para o determinante usando cofatores é:
det(A) = sumi=1^n ai3 cdot Ci3
onde ai3 são os elementos da terceira coluna e Ci3 são os cofatores correspondentes.

Passo 4

Agora, identificamos os elementos não nulos na terceira coluna. Observamos que apenas a33 = 1 é diferente de zero. Então, simplificamos a soma:
det(A) = 1 cdot C33
Isso significa que precisamos calcular apenas o cofator C33 .

Passo 5

O cofator C33 é dado por:
C33 = (-1)^3+3 cdot M33
onde M33 é o menor complementar, ou seja, o determinante da matriz que sobra quando removemos a terceira linha e a terceira coluna de A .

Passo 6

Vamos encontrar a matriz menor M33 removendo a terceira linha e a terceira coluna:
M33 = 1 & 1 & 0 1 & 2 & 2 2 & 4 & 4
Agora, precisamos calcular o determinante dessa matriz 3x3.

Passo 7

Para calcular o determinante de uma matriz 3x3, podemos usar a regra de Sarrus ou a expansão por cofatores. Vamos usar a regra de Sarrus aqui:
det(M33) = 1 cdot 2 cdot 4 + 1 cdot 2 cdot 2 + 0 cdot 1 cdot 4 - 0 cdot 2 cdot 2 - 1 cdot 2 cdot 4 - 1 cdot 1 cdot 2

Passo 8

Calculando cada termo:
1 cdot 2 cdot 4 = 8
1 cdot 2 cdot 2 = 4
0 cdot 1 cdot 4 = 0
0 cdot 2 cdot 2 = 0
1 cdot 2 cdot 4 = 8
1 cdot 1 cdot 2 = 2
Agora, somando e subtraindo:
det(M33) = 8 + 4 + 0 - 0 - 8 - 2 = 2

Passo 9

Voltando ao cofator C33 :
C33 = (-1)^6 cdot 2 = 1 cdot 2 = 2

Passo 10

Finalmente, calculamos o determinante de A :
det(A) = 1 cdot 2 = 2

Resposta

O determinante da matriz A é 2 .

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