Responda as questões 9 e 10 com base no enunciado abaixo:
Uma pesquisa com 125 pessoas que estudam na UFC, selecionadas aleatoriamente, apontou que 11,2 % das pessoas entrevistadas disseram ter menos de 18 anos. Construa intervalos com 98 % confiança (bilateral e unilaterais) para a proporção p de pessoas menores de idade na população de estudantes da UFC. Com base no intervalo obtido, responda ao que se pede abaixo:
A partir do estudo acima, é possível dizer que:
(a) Com 98 % de confiança, rejeita-se a hipótese de que p=5 %
(b) Com 98 % de confiança, não se pode rejeitar a hipótese de que p >= 5 %
© Com 98 % de confiança, não se pode rejeitar a hipótese de que p=17 %
(d) Com 98 % de confiança, rejeita-se a hipótese de que p <= 17 %
(e) 98 % é a confiança máxima que temos para rejeitar a hipótese de que p=17 %

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que a gente entrevistou 125 estudantes na UFC e descobriu uma proporção amostral hat p=11,2%. A tarefa é construir intervalos de confiança de 98% para a proporção verdadeira p (um intervalo bilateral e os dois unilaterais) e, com base nisso, ver quais hipóteses (a)–(e) a gente rejeita ou não.
Conteúdo: estimativa de proporção com intervalo de confiança usando a aproximação normal. Vamos precisar de
  1. calcular hat p e o erro-padrão SE=raizhat p(1-hat p)/n;
  2. achar o z-crítico para 98% (bilateral: z0,01; unilateral: z0,02);
  3. montar os intervalos e testar as hipóteses vendo se os valores propostos caem ou não no intervalo.

Passo 2

Primeiro a matemática básica:
  • n=125
  • hat p=0,112
  • erro-padrão
SE ;=;raizhat p,(1-hat p)n =raiz0,112,(1-0,112)125 =raiz0,112cdot0,888125 approx0,0282

Passo 3

Intervalo bilateral 98%:
  • nível de significância alpha=0,02, então alpha/2=0,01 e z0,01approx2,3263.
  • margem de erro
E = z0,01,SE approx2,3263times0,0282 approx0,0655
Logo
hat ppm E =0,112pm0,0655 ;Longrightarrow; [0,0465,;0,1775]
ou em porcentagem, aproximadamente [4,65%,17,75%].

Passo 4

Intervalos unilaterais 98%:
  • agora usamos alpha=0,02 todo de um lado, então z0,02approx2,0537.
  1. Intervalo “de baixo” (garante que p>= algo):
LB=hat p - z0.02,SE =0,112 -2,0537times0,0282 approx0,0541
Fica [0,0541,;1].
  1. Intervalo “de cima” (garante que p<= algo):
UB=hat p + z0.02,SE =0,112 +2,0537times0,0282 approx0,16997
Fica [0,;0,16997] (ou [0%,16.997%]).

Passo 5

Agora, com esses intervalos, testamos as hipóteses:
(a) “Rejeita-se H0:p=5%”?
  • No intervalo bilateral [4,65%,17,75%], 5% está dentro.
  • Logo NÃO rejeitamos.
(b) “Não se pode rejeitar H0:p>=5%”?
  • O intervalo unidirecional de baixo começa em 5,41%, que é > 5%.
  • Significa que, a 98%, p é definitivamente maior que 5%, então não dá pra rejeitar que p>=5%. VERDADEIRO.
© “Não se pode rejeitar H0:p=17%”?
  • No intervalo bilateral, 17% também está dentro de [4,65%,17,75%].
  • Então NÃO rejeitamos. VERDADEIRO.
(d) “Rejeita-se H0:p<=17%”?
  • O intervalo unidirecional de cima é [0,16,997%].
  • Como 17% está ligeiramente acima do limite, a 98% rejeitamos p<=17%. VERDADEIRO.
(e) “ 98% é a confiança máxima para rejeitar H0:p=17%”?
  • Isso não faz sentido no contexto: a gente viu que a 98% bilateral NÃO rejeita p=17%.
  • Então essa frase é falsa.

Resposta

As afirmativas corretas são (b), © e (d).

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