Responda às questōes abaixo:
d) Mostre, matematicamente, que se uma particula está sujeita a certas forças e apenas as forças conservativas realizam trabalho, então teremos conservação de energia mecânica.
d) Mostre, matematicamente, que se uma particula está sujeita a certas forças e apenas as forças conservativas realizam trabalho, então teremos conservação de energia mecânica.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma questão que pede para provar, de forma matemática, que quando uma partícula está sujeita apenas a forças conservativas, a energia mecânica dela permanece constante. Para resolver isso, vamos precisar entender alguns conceitos básicos: forças conservativas, trabalho realizado por essas forças e energia mecânica. Vamos dar um passo de cada vez para que fique fácil de entender!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que são forças conservativas. Uma força é chamada de conservativa quando o trabalho que ela realiza depende apenas dos pontos inicial e final da trajetória, e não do caminho seguido. Exemplos clássicos são a força da gravidade e a força elástica de uma mola. Uma propriedade importante das forças conservativas é que elas estão relacionadas a uma função potencial, $ U $, tal que:
Isso significa que podemos associar uma energia potencial à força conservativa.
Passo 3
Agora, vamos falar sobre energia mecânica. A energia mecânica ($ E_{mec}
K
U $):
A energia cinética é dada por:
onde $ m $ é a massa da partícula e $ v $ é a sua velocidade.
Passo 4
Para mostrar que a energia mecânica é conservada, vamos usar o teorema do trabalho e energia. Esse teorema diz que o trabalho total realizado sobre a partícula é igual à variação da sua energia cinética:
Onde $ W_{total} $ é o trabalho total, $ K_f $ é a energia cinética final e $ K_i $ é a energia cinética inicial.
Passo 5
Como estamos considerando apenas forças conservativas, o trabalho total realizado é igual ao trabalho da força conservativa, que podemos relacionar com a energia potencial:
Substituindo na equação do teorema do trabalho e energia:
Passo 6
Agora, vamos rearranjar essa equação para agrupar as energias cinética e potencial:
Isso mostra que a soma da energia cinética e potencial inicial é igual à soma final, ou seja:
Resposta
Portanto, demonstramos matematicamente que, quando uma partícula está sujeita apenas a forças conservativas, a energia mecânica $ E_{mec} = K + U $ permanece constante ao longo do tempo. Isso confirma a conservação da energia mecânica nessas condições.