Responda as questões.
( 5 pontos) Defina dimensão de um espaço vetorial. Dê um exemplo.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas claras:
  • Definir o que é a dimensão de um espaço vetorial.
  • Dar um exemplo (um espaço vetorial e a sua dimensão).
Não há outros dados fornecidos. Vou primeiro explicar todos os conceitos necessários (passo a passo) e depois mostrar um exemplo concreto.

Passo 2

Vamos entender dois conceitos básicos que precisamos antes da definição: combinação linear e subespaço gerado (span).
  • Combinação linear: dado um conjunto de vetores \{v_1,\dots,v_k\} em um espaço vetorial V, uma combinação linear é qualquer vetor da forma
a_1 v_1 + a_2 v_2 + \cdots + a_k v_k,
onde a_1,\dots,a_k são escalares (por exemplo em \mathbb{R} se V for sobre \mathbb{R}). Aqui cada a_i é um número e cada v_i é um vetor; a soma e multiplicação por escalar são as operações do espaço vetorial.
  • Subespaço gerado (ou span): o conjunto de todas as combinações lineares de \{v_1,\dots,v_k\} é chamado de subespaço gerado por esses vetores, e escrevemos
\operatorname{span}\{v_1,\dots,v_k\}=\{a_1 v_1+\cdots+a_k v_k \mid a_i\in\mathbb{F}\},
onde \mathbb{F} é o corpo (por exemplo \mathbb{R} ou \mathbb{C}). Esse conjunto é um subespaço de V.

Passo 3

Agora outro conceito chave: independência linear.
  • Independência linear: o conjunto \{v_1,\dots,v_k\} é linearmente independente se a única solução para
a_1 v_1 + a_2 v_2 + \cdots + a_k v_k = 0
é a_1=a_2=\cdots=a_k=0. Em palavras: nenhum vetor do conjunto pode ser escrito como combinação linear dos outros. Se existir uma combinação não trivial que dê o vetor zero (algum coeficiente não nulo), então os vetores são linearmente dependentes.
Dica prática: em \mathbb{R}^n verificar independência costuma ser equivalente a verificar se uma certa matriz tem posto máximo (mas isso é só uma ferramenta — a ideia é a equação acima).

Passo 4

Definição de base — peça fundamental para falar de dimensão.
  • Base: um conjunto B=\{b_1,b_2,\dots,b_n\}\subset V é uma base de V se
    1. B é linearmente independente;
    2. B gera V, isto é, \operatorname{span}B=V.
Intuição: uma base é um conjunto mínimo de vetores que, através de combinações lineares, consegue produzir qualquer vetor do espaço, e sem redundância (nenhum vetor da base é desnecessário).
Observação importante (sem demonstração técnica completa): qualquer vetor em V pode ser escrito de modo único como combinação linear dos vetores de uma base. Essa unicidade vem da independência linear.

Passo 5

Agora sim: definição de dimensão.
  • Dimensão: se V admite uma base finita, então o número de vetores em qualquer base de V é o mesmo; esse número é chamado dimensão de V e denota-se por \dim V. Ou seja, se existe uma base com n vetores, então \dim V = n.
  • Se V não admite nenhuma base finita (ou seja, toda base é infinita), diz-se que V tem dimensão infinita e escrevemos \dim V=\infty.
Comentário sobre bem-definição: é um teorema (resultado padrão em álgebra linear) que, quando existe base finita, qualquer outra base tem exatamente o mesmo número de vetores — por isso a dimensão é bem definida.

Passo 6

Como aplicar isso na prática — exemplo clássico fácil de checar: \mathbb{R}^n.
Considere o espaço \mathbb{R}^n (vetores coluna de n coordenadas reais). Os vetores
e_1=(1,0,0,\dots,0),\quad e_2=(0,1,0,\dots,0),\quad \dots,\quad e_n=(0,0,\dots,0,1)
são chamados de base canônica de \mathbb{R}^n.
  • Esses vetores geram \mathbb{R}^n: qualquer vetor v=(v_1,\dots,v_n)\in\mathbb{R}^n pode ser escrito como
v = v_1 e_1 + v_2 e_2 + \cdots + v_n e_n.
  • São linearmente independentes: se
a_1 e_1 + \cdots + a_n e_n = 0,
então olhando coordenada por coordenada obtemos a_1=0, a_2=0,\dots,a_n=0. Logo não existe combinação não trivial que dê zero.
Portanto \{e_1,\dots,e_n\} é uma base de \mathbb{R}^n com n vetores, então
\dim \mathbb{R}^n = n.

Passo 7

Outro exemplo breve (útil para ver outra situação): espaço dos polinômios de grau no máximo 2,
P_2 = \{a + b x + c x^2 \mid a,b,c\in\mathbb{R}\}.
O conjunto \{1,x,x^2\} gera P_2 (qualquer polinômio de grau \le 2 é combinação linear de 1,x,x^2) e é linearmente independente (uma combinação a\cdot1 + b\cdot x + c\cdot x^2=0 como polinômio implica a=b=c=0). Logo \dim P_2 = 3.

Resposta

Definição: A dimensão de um espaço vetorial V é o número de vetores de uma base de V quando existe uma base finita; se não existe base finita, diz-se que \dim V=\infty.
Exemplo: \dim \mathbb{R}^n = n, por exemplo \dim \mathbb{R}^3 = 3 com base canônica \{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)\}.

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