Responda as questões.
( 5 pontos) Defina dimensão de um espaço vetorial. Dê um exemplo.
( 5 pontos) Defina dimensão de um espaço vetorial. Dê um exemplo.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas claras:
- Definir o que é a dimensão de um espaço vetorial.
- Dar um exemplo (um espaço vetorial e a sua dimensão).
Não há outros dados fornecidos. Vou primeiro explicar todos os conceitos necessários (passo a passo) e depois mostrar um exemplo concreto.
Passo 2
Vamos entender dois conceitos básicos que precisamos antes da definição: combinação linear e subespaço gerado (span).
- Combinação linear: dado um conjunto de vetores
em um espaço vetorial , uma combinação linear é qualquer vetor da forma
onde
são escalares (por exemplo em
se
for sobre
). Aqui cada
é um número e cada
é um vetor; a soma e multiplicação por escalar são as operações do espaço vetorial.
- Subespaço gerado (ou span): o conjunto de todas as combinações lineares de
é chamado de subespaço gerado por esses vetores, e escrevemos
onde
é o corpo (por exemplo
ou
). Esse conjunto é um subespaço de
.
Passo 3
Agora outro conceito chave: independência linear.
- Independência linear: o conjunto
é linearmente independente se a única solução para
é
. Em palavras: nenhum vetor do conjunto pode ser escrito como combinação linear dos outros. Se existir uma combinação não trivial que dê o vetor zero (algum coeficiente não nulo), então os vetores são linearmente dependentes.
Dica prática: em
verificar independência costuma ser equivalente a verificar se uma certa matriz tem posto máximo (mas isso é só uma ferramenta — a ideia é a equação acima).
Passo 4
Definição de base — peça fundamental para falar de dimensão.
- Base: um conjunto
é uma base de se -
é linearmente independente; -
gera , isto é, .
-
Intuição: uma base é um conjunto mínimo de vetores que, através de combinações lineares, consegue produzir qualquer vetor do espaço, e sem redundância (nenhum vetor da base é desnecessário).
Observação importante (sem demonstração técnica completa): qualquer vetor em
pode ser escrito de modo único como combinação linear dos vetores de uma base. Essa unicidade vem da independência linear.
Passo 5
Agora sim: definição de dimensão.
-
Dimensão: se
admite uma base finita, então o número de vetores em qualquer base de é o mesmo; esse número é chamado dimensão de e denota-se por . Ou seja, se existe uma base com vetores, então . -
Se
não admite nenhuma base finita (ou seja, toda base é infinita), diz-se que tem dimensão infinita e escrevemos .
Comentário sobre bem-definição: é um teorema (resultado padrão em álgebra linear) que, quando existe base finita, qualquer outra base tem exatamente o mesmo número de vetores — por isso a dimensão é bem definida.
Passo 6
Como aplicar isso na prática — exemplo clássico fácil de checar:
.
Considere o espaço
(vetores coluna de
coordenadas reais). Os vetores
são chamados de base canônica de
.
- Esses vetores geram
: qualquer vetor pode ser escrito como
- São linearmente independentes: se
então olhando coordenada por coordenada obtemos
. Logo não existe combinação não trivial que dê zero.
Portanto
é uma base de
com
vetores, então
Passo 7
Outro exemplo breve (útil para ver outra situação): espaço dos polinômios de grau no máximo
,
O conjunto
gera
(qualquer polinômio de grau
é combinação linear de
) e é linearmente independente (uma combinação
como polinômio implica
). Logo
.
Resposta
Definição: A dimensão de um espaço vetorial
é o número de vetores de uma base de
quando existe uma base finita; se não existe base finita, diz-se que
.
Exemplo:
, por exemplo
com base canônica
.