Considere os seguintes conjuntos de vetores de R^{3}.
\begin{gathered} S_{1}=\{(1,1,1),(1,1,0),(1,0,0)\} \\\ S_{2}=\{(1,0,1),(0,1,0)\} \end{gathered}
(a) (10 pontos) Verifique se são linearmente independentes (LIs) ou linearmente dependentes (LDs) tais conjuntos.
(b) ( 10 pontos) Quais dos conjuntos formam uma base para o R^{3}. Explique.

Passo 1

O enunciado dá dois conjuntos de vetores em \mathbb{R}^{3}:
S_{1}=\{(1,1,1),(1,1,0),(1,0,0)\}, \qquad S_{2}=\{(1,0,1),(0,1,0)\}.
As perguntas são:
(a) Verificar se cada conjunto é linearmente independente (LI) ou linearmente dependente (LD).
(b) Dizer quais dos conjuntos formam uma base de \mathbb{R}^{3} e explicar por quê.

Passo 2

Primeiro, relembrar de forma prática o que é independência linear (vou explicar devagar para você conseguir usar isso na prova):
  • Definição: um conjunto de vetores \{v_{1},\dots,v_{k}\}\subset\mathbb{R}^{3} é linearmente independente se a única solução do sistema
\alpha_{1}v_{1}+\alpha_{2}v_{2}+\cdots+\alpha_{k}v_{k}=(0,0,0)
é \alpha_{1}=\alpha_{2}=\cdots=\alpha_{k}=0. Caso exista uma solução com algum \alpha_{i}\neq 0, os vetores são linearmente dependentes.
  • Método prático: escrevemos a combinação linear das componentes coordenada a coordenada, obtemos um sistema linear em relação aos coeficientes \alpha_{i} e resolvemos. Se o sistema força todos os \alpha_{i}=0, o conjunto é LI; caso contrário é LD.
  • Observação útil para a prova: \mathbb{R}^{3} tem dimensão 3. Qualquer conjunto com exatamente 3 vetores que seja LI é automaticamente uma base de \mathbb{R}^{3} (porque tem 3 vetores LI numa espaço de dimensão 3, então também gera todo o espaço). Um conjunto com menos de 3 vetores não pode ser base de \mathbb{R}^{3} porque uma base precisa de exatamente 3 vetores nesse espaço.
Agora aplico isso a S_{1} e S_{2}.

Passo 3

Analisar [S_{1}={(1,1,1),(1,1,0),(1,0,0)}).
Escrevo a combinação linear nula com coeficientes a,b,c:
a(1,1,1)+b(1,1,0)+c(1,0,0)=(0,0,0).
Escrevendo por componentes obtemos o sistema
\begin{cases} a+b+c=0 &\text{(primeira coordenada)},\\[4pt] a+b=0 &\text{(segunda coordenada)},\\[4pt] a=0 &\text{(terceira coordenada)}. \end{cases}
Agora resolvo passo a passo:
  • Da terceira equação vem a=0\]. - Substituindo \(a=0 na segunda equação dá b=0.
    - Substituindo a=0 e b=0 na primeira equação dá c=0.
Portanto a única solução é a=b=c=0. Conclusão: os vetores de S_{1} são linearmente independentes.]

Passo 4

Interpretação adicional para a prova (por que isso garante que S_{1} é base):
  • Já encontramos que S_{1} tem 3 vetores e são LI.
  • Como \mathbb{R}^{3} tem dimensão 3, qualquer conjunto de 3 vetores LI forma uma base de \mathbb{R}^{3}. (Explicação curta: um conjunto LI com número igual à dimensão forma um sistema de geradores e portanto base.)
  • Logo S_{1} é uma base de \mathbb{R}^{3}.

Passo 5

Analisar [S_{2}={(1,0,1),(0,1,0)}).
Escrevo a combinação linear nula com coeficientes u,v:
u(1,0,1)+v(0,1,0)=(0,0,0).
Por componentes isso dá
\begin{cases} u=0 &\text{(primeira coordenada)},\\[4pt] v=0 &\text{(segunda coordenada)},\\[4pt] u=0 &\text{(terceira coordenada)}. \end{cases}
Das duas primeiras equações já se vê u=0\] e \(v=0. Não há outra solução. Portanto a única solução é u=v=0, ou seja, os dois vetores de S_{2} são linearmente independentes.]

Passo 6

Agora verifico se S_{2} é base de \mathbb{R}^{3}.
  • S_{2} tem apenas 2 vetores. Em \mathbb{R}^{3} uma base precisa ter exatamente 3 vetores. Assim, mesmo sendo LI, S_{2} não pode ser base de \mathbb{R}^{3}.
  • Para ficar bem claro como testar o span (isso ajuda na prova): os vetores de S_{2} geram vetores da forma
u(1,0,1)+v(0,1,0)=(u,v,u).
Ou seja, o conjunto gerado por S_{2} é \{(u,v,u)\mid u,v\in\mathbb{R}\}. Note que a terceira coordenada é sempre igual à primeira; por exemplo não é possível obter (0,0,1) com combinações desses vetores (porque para (u,v,u)=(0,0,1) seria necessário u=0 e u=1, impossível). Logo S_{2} não gera todo \mathbb{R}^{3} e não é base.

Resposta

(a) S_{1} é linearmente independente.
(a) S_{2} é linearmente independente.
(b) S_{1} forma uma base de \mathbb{R}^{3}.
(b) S_{2} não forma uma base de \mathbb{R}^{3}.

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