(a) (10 pontos) Verifique se são linearmente independentes (LIs) ou linearmente dependentes (LDs) tais conjuntos.
(b) ( 10 pontos) Quais dos conjuntos formam uma base para o R^{3}. Explique.
Passo 1
O enunciado dá dois conjuntos de vetores em \mathbb{R}^{3}:
As perguntas são:
(a) Verificar se cada conjunto é linearmente independente (LI) ou linearmente dependente (LD).
(b) Dizer quais dos conjuntos formam uma base de \mathbb{R}^{3} e explicar por quê.
Passo 2
Primeiro, relembrar de forma prática o que é independência linear (vou explicar devagar para você conseguir usar isso na prova):
Definição: um conjunto de vetores \{v_{1},\dots,v_{k}\}\subset\mathbb{R}^{3} é linearmente independente se a única solução do sistema
é \alpha_{1}=\alpha_{2}=\cdots=\alpha_{k}=0. Caso exista uma solução com algum \alpha_{i}\neq 0, os vetores são linearmente dependentes.
Método prático: escrevemos a combinação linear das componentes coordenada a coordenada, obtemos um sistema linear em relação aos coeficientes \alpha_{i} e resolvemos. Se o sistema força todos os \alpha_{i}=0, o conjunto é LI; caso contrário é LD.
Observação útil para a prova: \mathbb{R}^{3} tem dimensão 3. Qualquer conjunto com exatamente 3 vetores que seja LI é automaticamente uma base de \mathbb{R}^{3} (porque tem 3 vetores LI numa espaço de dimensão 3, então também gera todo o espaço). Um conjunto com menos de 3 vetores não pode ser base de \mathbb{R}^{3} porque uma base precisa de exatamente 3 vetores nesse espaço.
Agora aplico isso a S_{1} e S_{2}.
Passo 3
Analisar [S_{1}={(1,1,1),(1,1,0),(1,0,0)}).
Escrevo a combinação linear nula com coeficientes a,b,c:
Da terceira equação vem a=0\].
- Substituindo \(a=0 na segunda equação dá b=0.
- Substituindo a=0 e b=0 na primeira equação dá c=0.
Portanto a única solução é a=b=c=0. Conclusão: os vetores de S_{1} são linearmente independentes.]
Passo 4
Interpretação adicional para a prova (por que isso garante que S_{1} é base):
Já encontramos que S_{1} tem 3 vetores e são LI.
Como \mathbb{R}^{3} tem dimensão 3, qualquer conjunto de 3 vetores LI forma uma base de \mathbb{R}^{3}. (Explicação curta: um conjunto LI com número igual à dimensão forma um sistema de geradores e portanto base.)
Logo S_{1} é uma base de \mathbb{R}^{3}.
Passo 5
Analisar [S_{2}={(1,0,1),(0,1,0)}).
Escrevo a combinação linear nula com coeficientes u,v:
Das duas primeiras equações já se vê u=0\] e \(v=0. Não há outra solução. Portanto a única solução é u=v=0, ou seja, os dois vetores de S_{2} são linearmente independentes.]
Passo 6
Agora verifico se S_{2} é base de \mathbb{R}^{3}.
S_{2} tem apenas 2 vetores. Em \mathbb{R}^{3} uma base precisa ter exatamente 3 vetores. Assim, mesmo sendo LI, S_{2} não pode ser base de \mathbb{R}^{3}.
Para ficar bem claro como testar o span (isso ajuda na prova): os vetores de S_{2} geram vetores da forma
u(1,0,1)+v(0,1,0)=(u,v,u).
Ou seja, o conjunto gerado por S_{2} é \{(u,v,u)\mid u,v\in\mathbb{R}\}. Note que a terceira coordenada é sempre igual à primeira; por exemplo não é possível obter (0,0,1) com combinações desses vetores (porque para (u,v,u)=(0,0,1) seria necessário u=0 e u=1, impossível). Logo S_{2} não gera todo \mathbb{R}^{3} e não é base.
Resposta
(a) S_{1} é linearmente independente.
(a) S_{2} é linearmente independente.
(b) S_{1} forma uma base de \mathbb{R}^{3}.
(b) S_{2} não forma uma base de \mathbb{R}^{3}.