Responda os seguintes itens:
  • B é uma forma bilinear?
  • Determinar a matriz da forma bilinear B.
  • B é uma forma bilinear Simétrica.
  • A matriz da forma bilinear B é simétrica?
  • Determine todos os autovalores da matriz associada a forma bilinear B.
    em que a aplicação
    B: \mathbb{Q}^{2} \times \mathbb{Q}^{2} \rightarrow \mathbb{Q} está dada por
B\left(\left(x_{1}, y_{1}\right),\left(x_{2}, y_{2}\right)\right)=-x_{1} y_{1}+2 y_{1} x_{2}+5 x_{2} y_{2}
e a base de \mathbb{R}^{2}
A=\left\{\left(\frac{1}{2}, 0\right),\left(\frac{2}{3}, 3\right)\right\}

Passo 1

Primeiro vou listar claramente o que o enunciado pede e as informações que ele dá, sem resolver nada ainda.
  • Perguntas do enunciado:
    1. B é uma forma bilinear?
    2. Determinar a matriz da forma bilinear B.
    3. B é uma forma bilinear simétrica?
    4. A matriz da forma bilinear B é simétrica?
    5. Determinar todos os autovalores da matriz associada à forma bilinear B.
  • Informações fornecidas:
    • A aplicação é B:\mathbb{Q}^{2}\times\mathbb{Q}^{2}\to\mathbb{Q} dada por B\big((x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2})\big) = -x_{1}y_{1} + 2\,y_{1}x_{2} + 5\,x_{2}y_{2}.
    • A base considerada é A=\left\{\left(\tfrac{1}{2},0\right),\left(\tfrac{2}{3},3\right)\right\}.
    • Observação: os vetores da base têm coordenadas racionais, compatível com o domínio \mathbb{Q}^2.

Passo 2

O que significa ser forma bilinear — uma explicação didática e essencial antes de testar:
  • Uma aplicação B: V\times V\to \mathbb{F} (aqui \mathbb{F}=\mathbb{Q}) é bilinear se for linear em cada argumento separadamente. Isso significa duas propriedades para todo u,u',v,v'\in V e todo escalar c\in\mathbb{F}:
    1. Linearidade no primeiro argumento (mantendo o segundo fixo): B(u+u',v)=B(u,v)+B(u',v), \qquad B(cu,v)=c\,B(u,v).
    2. Linearidade no segundo argumento (mantendo o primeiro fixo): B(u,v+v')=B(u,v)+B(u,v'), \qquad B(u,cv)=c\,B(u,v).
  • Se essas propriedades falham para qualquer escolha válida, B não é bilinear.
  • Importante: para uma forma bilinear existe uma matriz M tal que, usando coordenadas em uma base A=\{e_1,e_2\}, M_{ij}=B(e_i,e_j),e então B(u,v)=[u]_A^{T} M [v]_A. Logo, só faz sentido falar da matriz associada se B for bilinear.

Passo 3

Testando a linearidade no primeiro argumento com cálculo geral (mostrando passo a passo por que pode falhar):
  • Tome u=(x_1,y_1) e v=(x_2,y_2) arbitrários e um escalar c\in\mathbb{Q}.
  • Calcule B(cu,v). Substituindo (c x_1,c y_1) no lugar do primeiro argumento, \begin{aligned} B\big((c x_1,c y_1),(x_2,y_2)\big) &= - (c x_1)(c y_1) + 2\,(c y_1)x_2 + 5\,x_2 y_2\\[4pt] &= -c^{2} x_1 y_1 + 2c\, y_1 x_2 + 5\, x_2 y_2. \end{aligned}
  • Em contrapartida, calcule c\,B(u,v): c\,B\big((x_1,y_1),(x_2,y_2)\big) = c\big(-x_1 y_1 + 2 y_1 x_2 + 5 x_2 y_2\big) = -c x_1 y_1 + 2c\, y_1 x_2 + 5c\, x_2 y_2.
  • Comparando termo a termo: o primeiro termo é -c^{2} x_1 y_1 na expansão de B(cu,v) enquanto em cB(u,v) é -c x_1 y_1; além disso o último termo é 5 x_2 y_2 (sem fator c) em B(cu,v) mas 5c x_2 y_2 em cB(u,v). Assim, em geral B(cu,v)\ne c\,B(u,v).
  • Conclusão desta verificação: a propriedade de homogeneidade (multiplicação por escalar) no primeiro argumento falha já na forma algébrica, portanto B não é linear no primeiro argumento.]

Passo 4

Uma verificação numérica simples para fixar a intuição:
  • Escolha u=(1,1), v=(1,1) e c=2 (tudo em \mathbb{Q}). Então B\big((2,2),(1,1)\big) = -2\cdot 2 + 2\cdot 2\cdot 1 + 5\cdot 1\cdot 1 = -4 + 4 + 5 = 5.Enquanto 2\,B\big((1,1),(1,1)\big) = 2\big(-1\cdot1 + 2\cdot1\cdot1 + 5\cdot1\cdot1\big) = 2(-1+2+5)=2\cdot 6 = 12.
  • Como 5\ne 12, fica evidente com um exemplo concreto que B(cu,v)\ne cB(u,v) em geral. Isso confirma que B não é linear no primeiro argumento.

Passo 5

Consequências diretas e respostas aos itens que dependem dessa propriedade:
  • Como B NÃO é linear no primeiro argumento, B não satisfaz a definição de forma bilinear. Logo todas as propriedades que presumem bilinearidade (como existência de matriz associada que faça B(u,v)=[u]_A^{T}M[v]_A, simetria bilinear etc.) não se aplicam.
  • Explicando por que não existe matriz associada: a construção da matriz usa M_{ij}=B(e_i,e_j) e o fato de que para vetores quaisquer u,v com coordenadas em relação à base A, B(u,v) se escreve como produto bilinear entre coordenadas e M. Essa representação exige linearidade em cada argumento; sem ela não existe uma matriz fixa que reproduza B(u,v) por produtos de coordenadas.

Passo 6

Respostas diretas às perguntas adicionais (síntese curta mas precisa):
  • Sobre simetria: a noção “forma bilinear simétrica” significa primariamente que a forma é bilinear e, além disso, B(u,v)=B(v,u) para todos u,v. Como B nem sequer é bilinear, não é correta a afirmação “é forma bilinear simétrica”. Pode-se ainda checar que a igualdade B(u,v)=B(v,u) também não vale em geral (por exemplo, aplicar aos mesmos u,v do passo 4 dá valores diferentes), mas o ponto principal é a falta de bilinearidade.
  • Sobre autovalores da matriz associada: não existe matriz associada válida porque não existe forma bilinear; portanto não há matriz cujos autovalores possamos determinar a partir de B.

Resposta

  1. Não, B não é uma forma bilinear.
  2. Não é possível determinar uma matriz associada: não existe matriz da forma bilinear B porque B não é bilinear.
  3. Não, B não é uma forma bilinear simétrica (não é bilinear).
  4. Não se aplica: não existe matriz associada, logo a pergunta sobre simetria da matriz também não se aplica.
  5. Não se aplica: não há matriz associada cuja lista de autovalores possa ser determinada.

Exercícios relacionados