Responda os seguintes itens:
-
é uma forma bilinear?
- Determinar a matriz da forma bilinear
.
-
é uma forma bilinear Simétrica.
- A matriz da forma bilinear
é simétrica?
- Determine todos os autovalores da matriz associada a forma bilinear
.
em que a aplicação
está dada por
e a base de
em que a aplicação
Passo 1
Primeiro vou listar claramente o que o enunciado pede e as informações que ele dá, sem resolver nada ainda.
-
Perguntas do enunciado:
-
é uma forma bilinear? - Determinar a matriz da forma bilinear
. -
é uma forma bilinear simétrica? - A matriz da forma bilinear
é simétrica? - Determinar todos os autovalores da matriz associada à forma bilinear
.
-
-
Informações fornecidas:
- A aplicação é
dada por - A base considerada é
- Observação: os vetores da base têm coordenadas racionais, compatível com o domínio
.
- A aplicação é
Passo 2
O que significa ser forma bilinear — uma explicação didática e essencial antes de testar:
- Uma aplicação
(aqui ) é bilinear se for linear em cada argumento separadamente. Isso significa duas propriedades para todo e todo escalar : - Linearidade no primeiro argumento (mantendo o segundo fixo):
- Linearidade no segundo argumento (mantendo o primeiro fixo):
- Linearidade no primeiro argumento (mantendo o segundo fixo):
- Se essas propriedades falham para qualquer escolha válida,
não é bilinear. - Importante: para uma forma bilinear existe uma matriz
tal que, usando coordenadas em uma base , e então . Logo, só faz sentido falar da matriz associada se for bilinear.
Passo 3
Testando a linearidade no primeiro argumento com cálculo geral (mostrando passo a passo por que pode falhar):
- Tome
e arbitrários e um escalar . - Calcule
. Substituindo no lugar do primeiro argumento, - Em contrapartida, calcule
: - Comparando termo a termo: o primeiro termo é
na expansão de enquanto em é ; além disso o último termo é (sem fator ) em mas em . Assim, em geral - Conclusão desta verificação: a propriedade de homogeneidade (multiplicação por escalar) no primeiro argumento falha já na forma algébrica, portanto
não é linear no primeiro argumento.]
Passo 4
Uma verificação numérica simples para fixar a intuição:
- Escolha
, e (tudo em ). Então Enquanto - Como
, fica evidente com um exemplo concreto que em geral. Isso confirma que não é linear no primeiro argumento.
Passo 5
Consequências diretas e respostas aos itens que dependem dessa propriedade:
- Como
NÃO é linear no primeiro argumento, não satisfaz a definição de forma bilinear. Logo todas as propriedades que presumem bilinearidade (como existência de matriz associada que faça , simetria bilinear etc.) não se aplicam. - Explicando por que não existe matriz associada: a construção da matriz usa
e o fato de que para vetores quaisquer com coordenadas em relação à base , se escreve como produto bilinear entre coordenadas e . Essa representação exige linearidade em cada argumento; sem ela não existe uma matriz fixa que reproduza por produtos de coordenadas.
Passo 6
Respostas diretas às perguntas adicionais (síntese curta mas precisa):
- Sobre simetria: a noção “forma bilinear simétrica” significa primariamente que a forma é bilinear e, além disso,
para todos . Como nem sequer é bilinear, não é correta a afirmação “é forma bilinear simétrica”. Pode-se ainda checar que a igualdade também não vale em geral (por exemplo, aplicar aos mesmos do passo 4 dá valores diferentes), mas o ponto principal é a falta de bilinearidade. - Sobre autovalores da matriz associada: não existe matriz associada válida porque não existe forma bilinear; portanto não há matriz cujos autovalores possamos determinar a partir de
.
Resposta
- Não,
não é uma forma bilinear. - Não é possível determinar uma matriz associada: não existe matriz da forma bilinear
porque não é bilinear. - Não,
não é uma forma bilinear simétrica (não é bilinear). - Não se aplica: não existe matriz associada, logo a pergunta sobre simetria da matriz também não se aplica.
- Não se aplica: não há matriz associada cuja lista de autovalores possa ser determinada.