Responda os seguintes itens:
-
é uma forma bilinear?
- Determinar a matriz da forma bilinear
.
-
é uma forma bilinear Simétrica.
- A matriz da forma bilinear
é simétrica?
- Determine todos os autovalores da matriz associada a forma bilinear
.
em que a aplicação
está dada por
e a base
em que a aplicação
Passo 1
O enunciado pede cinco coisas (vou listar exatamente o que cada item quer) e fornece a aplicação
e a base
.
Pedidos:
- Verificar se
é uma forma bilinear. - Determinar a matriz da forma bilinear
(na base ). - Verificar se
é uma forma bilinear simétrica. - Verificar se a matriz da forma bilinear
é simétrica. - Determinar todos os autovalores da matriz associada à forma bilinear
.
Dados fornecidos:
- A aplicação
é definida por
- A base
de é
Passo 2
O que significa “forma bilinear” (explicação didática e concreta).
- Uma aplicação
é bilinear se for linear em cada argumento separadamente. Formalmente, para todos e todos escalares deve valer:
e
- Em coordenadas: se escrevermos
e , uma forma bilinear tem sempre a forma
para alguns números
. Repare que essa expressão envolve produtos entre componentes de vetores diferentes (
) — nunca produtos entre componentes do mesmo vetor (como
ou
).
Passo 3
Testando linearidade em relação ao primeiro argumento (método e cálculo).
- Pegamos dois vetores quaisquer
e e aplicamos a aditividade em relação ao primeiro argumento:
- Enquanto a soma das imagens separadas seria
- Comparando os dois resultados aparecem termos diferentes: no primeiro aparece
e só um , enquanto na soma das imagens aparece dois termos (ou seja, ). Portanto a igualdade exigida pela aditividade falha em geral. Conclusão: não é aditiva no primeiro argumento.
Para ficar mais concreto e rápido (contraexemplo numérico):
- Tome
, e .
Como
, a aditividade falha num exemplo específico — prova simples e direta de que
não é linear no primeiro argumento.
Passo 4
Testando linearidade em relação ao segundo argumento (método e cálculo).
- Análogo: para
temos
- Enquanto a soma das imagens separadas é
- Novamente os dois resultados não coincidem em geral (por exemplo aparecem
, e termos duplicados na soma), logo a aditividade no segundo argumento também falha em geral. Assim não é linear no segundo argumento.
Passo 5
Conclusão sobre bilinearidade.
- Como
não é linear no primeiro argumento e nem no segundo, não é uma forma bilinear. Isto já responde diretamente ao primeiro item do enunciado.
Passo 6
Sobre a matriz associada a uma forma bilinear (e por que aqui não existe).
- Lembrete: se
fosse bilinear, existiría uma matriz tal que, para e ,
- Compare essa forma geral com a expressão dada
- Na expressão geral os termos são todos produtos entre coordenadas de vetores diferentes (
). Na expressão dada aparecem os termos e , que são produtos entre componentes do mesmo vetor ( depende só do primeiro vetor; depende só do segundo vetor). Esses tipos de termos NÃO podem aparecer em uma forma bilinear escrita como . - Portanto não existe matriz
tal que para todos . Logo não é possível determinar uma matriz associada à (na base canônica nem em qualquer base), porque a relação esperada forma-bilinear ↔ matriz falha.
Passo 7
Sobre simetria (forma bilinear simétrica e matriz simétrica).
- Definição: uma forma bilinear
é simétrica se, para todos , . Se tivéssemos uma matriz associada, essa condição seria equivalente a ser simétrica ( ). - Aqui:
não é bilinear, então não podemos classificar como “forma bilinear simétrica” porque sequer é forma bilinear. Além disso, olhando na prática:
Essas duas expressões não coincidem em geral, então a função
também não é simétrica como função de troca dos argumentos. Portanto não é simétrica como forma bilinear (além de não ser bilinear). Consequentemente também não existe uma matriz associada para testar simetria de matriz.
Passo 8
Sobre autovalores.
- Os autovalores que se pede são os autovalores da matriz associada à forma bilinear. Como não existe matriz associada (ver Passo 6), não há uma matriz cujos autovalores possamos calcular. Logo a pergunta sobre autovalores não se aplica ao caso concreto dado.
Resposta
Não existe matriz
A pergunta sobre a simetria da matriz associada não se aplica (não existe matriz associada).
A determinação dos autovalores não se aplica (não existe matriz associada).