Responda os seguintes itens:
  • B é uma forma bilinear?
  • Determinar a matriz da forma bilinear B.
  • B é uma forma bilinear Simétrica.
  • A matriz da forma bilinear B é simétrica?
  • Determine todos os autovalores da matriz associada a forma bilinear B.
    em que a aplicação
    B: \mathbb{R}^{2} \times \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R} está dada por
B\left(\left(x_{1}, y_{1}\right),\left(x_{2}, y_{2}\right)\right)=-x_{1} y_{1}+2 y_{1} x_{2}+5 x_{2} y_{2}
e a base \mathbb{R}^{2}
A=\{(0,1),(2,3)\}

Passo 1

O enunciado pede cinco coisas (vou listar exatamente o que cada item quer) e fornece a aplicação B e a base A.
Pedidos:
  • Verificar se B é uma forma bilinear.
  • Determinar a matriz da forma bilinear B (na base A).
  • Verificar se B é uma forma bilinear simétrica.
  • Verificar se a matriz da forma bilinear B é simétrica.
  • Determinar todos os autovalores da matriz associada à forma bilinear B.
Dados fornecidos:
  • A aplicação
B:\mathbb{R}^{2}\times\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}
é definida por
B\bigl((x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2})\bigr) = -x_{1}y_{1} + 2y_{1}x_{2} + 5x_{2}y_{2}.
  • A base A de \mathbb{R}^{2} é
A=\{(0,1),(2,3)\}.

Passo 2

O que significa “forma bilinear” (explicação didática e concreta).
  • Uma aplicação B:\mathbb{R}^{2}\times\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R} é bilinear se for linear em cada argumento separadamente. Formalmente, para todos u,v,w\in\mathbb{R}^{2} e todos escalares \alpha,\beta\in\mathbb{R} deve valer:
B(\alpha u+\beta v, w)=\alpha B(u,w)+\beta B(v,w)
e
B(w,\alpha u+\beta v)=\alpha B(w,u)+\beta B(w,v).
  • Em coordenadas: se escrevermos u=(x_{1},y_{1}) e v=(x_{2},y_{2}), uma forma bilinear tem sempre a forma
B(u,v)=a\,x_{1}x_{2}+b\,x_{1}y_{2}+c\,y_{1}x_{2}+d\,y_{1}y_{2}
para alguns números a,b,c,d. Repare que essa expressão envolve produtos entre componentes de vetores diferentes ( x_{1}x_{2},x_{1}y_{2},y_{1}x_{2},y_{1}y_{2}) — nunca produtos entre componentes do mesmo vetor (como x_{1}y_{1} ou x_{2}y_{2}).

Passo 3

Testando linearidade em relação ao primeiro argumento (método e cálculo).
  • Pegamos dois vetores quaisquer (x_{1},y_{1}) e (x_{1}',y_{1}') e aplicamos a aditividade em relação ao primeiro argumento:
\begin{aligned} &B\bigl((x_{1}+x_{1}',\,y_{1}+y_{1}'),\,(x_{2},y_{2})\bigr)\\\ &\qquad = -(x_{1}+x_{1}')(y_{1}+y_{1}') + 2(y_{1}+y_{1}')x_{2} + 5x_{2}y_{2}\\\ &\qquad = -x_{1}y_{1} -x_{1}'y_{1} -x_{1}y_{1}' -x_{1}'y_{1}'+2y_{1}x_{2}+2y_{1}'x_{2}+5x_{2}y_{2}. \end{aligned}
  • Enquanto a soma das imagens separadas seria
\begin{aligned} &B\bigl((x_{1},y_{1}), (x_{2},y_{2})\bigr) + B\bigl((x_{1}',y_{1}'), (x_{2},y_{2})\bigr)\\\ &\qquad = \bigl(-x_{1}y_{1}+2y_{1}x_{2}+5x_{2}y_{2}\bigr) + \bigl(-x_{1}'y_{1}'+2y_{1}'x_{2}+5x_{2}y_{2}\bigr)\\\ &\qquad = -x_{1}y_{1} -x_{1}'y_{1}' + 2y_{1}x_{2}+2y_{1}'x_{2} +10x_{2}y_{2}. \end{aligned}
  • Comparando os dois resultados aparecem termos diferentes: no primeiro aparece -x_{1}y_{1}'-x_{1}'y_{1} e só um 5x_{2}y_{2}, enquanto na soma das imagens aparece dois termos 5x_{2}y_{2} (ou seja, 10x_{2}y_{2}). Portanto a igualdade exigida pela aditividade falha em geral. Conclusão: B não é aditiva no primeiro argumento.
Para ficar mais concreto e rápido (contraexemplo numérico):
  • Tome (x_{1},y_{1})=(1,0), (x_{1}',y_{1}')=(0,1) e (x_{2},y_{2})=(1,0).
\begin{aligned} &B\bigl((1,1),(1,0)\bigr) = -(1)(1) + 2(1)(1) + 5(1)(0) = -1+2=1,\\\ &B\bigl((1,0),(1,0)\bigr)+B\bigl((0,1),(1,0)\bigr)=0 + 2 =2. \end{aligned}
Como 1\neq 2, a aditividade falha num exemplo específico — prova simples e direta de que B não é linear no primeiro argumento.

Passo 4

Testando linearidade em relação ao segundo argumento (método e cálculo).
  • Análogo: para (x_{2}+x_{2}',y_{2}+y_{2}') temos
\begin{aligned} &B\bigl((x_{1},y_{1}), (x_{2}+x_{2}',y_{2}+y_{2}')\bigr)\\\ &\qquad = -x_{1}y_{1} + 2y_{1}(x_{2}+x_{2}') + 5(x_{2}+x_{2}')(y_{2}+y_{2}')\\\ &\qquad = -x_{1}y_{1} + 2y_{1}x_{2}+2y_{1}x_{2}' + 5x_{2}y_{2}+5x_{2}y_{2}'+5x_{2}'y_{2}+5x_{2}'y_{2}'. \end{aligned}
  • Enquanto a soma das imagens separadas é
\begin{aligned} &B\bigl((x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2})\bigr)+B\bigl((x_{1},y_{1}),(x_{2}',y_{2}')\bigr)\\\ &\qquad = \bigl(-x_{1}y_{1}+2y_{1}x_{2}+5x_{2}y_{2}\bigr) + \bigl(-x_{1}y_{1}+2y_{1}x_{2}'+5x_{2}'y_{2}'\bigr)\\\ &\qquad = -2x_{1}y_{1} + 2y_{1}x_{2}+2y_{1}x_{2}'+5x_{2}y_{2}+5x_{2}'y_{2}'. \end{aligned}
  • Novamente os dois resultados não coincidem em geral (por exemplo aparecem 5x_{2}y_{2}', 5x_{2}'y_{2} e termos duplicados -2x_{1}y_{1} na soma), logo a aditividade no segundo argumento também falha em geral. Assim B não é linear no segundo argumento.

Passo 5

Conclusão sobre bilinearidade.
  • Como B não é linear no primeiro argumento e nem no segundo, B não é uma forma bilinear. Isto já responde diretamente ao primeiro item do enunciado.

Passo 6

Sobre a matriz associada a uma forma bilinear (e por que aqui não existe).
  • Lembrete: se B fosse bilinear, existiría uma matriz M=\begin{pmatrix}a & b\\\ c & d\end{pmatrix} tal que, para u=(x_{1},y_{1}) e v=(x_{2},y_{2}),
B(u,v)=\begin{pmatrix}x_{1} & y_{1}\end{pmatrix} \begin{pmatrix}a & b\\\ c & d\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x_{2}\\\ y_{2}\end{pmatrix} = a x_{1}x_{2} + b x_{1}y_{2} + c y_{1}x_{2} + d y_{1}y_{2}.
  • Compare essa forma geral com a expressão dada
B(u,v) = -x_{1}y_{1} + 2y_{1}x_{2} + 5x_{2}y_{2}.
  • Na expressão geral os termos são todos produtos entre coordenadas de vetores diferentes ( x_{1}x_{2},x_{1}y_{2},y_{1}x_{2},y_{1}y_{2}). Na expressão dada aparecem os termos -x_{1}y_{1} e 5x_{2}y_{2}, que são produtos entre componentes do mesmo vetor ( x_{1}y_{1} depende só do primeiro vetor; x_{2}y_{2} depende só do segundo vetor). Esses tipos de termos NÃO podem aparecer em uma forma bilinear escrita como u^{T}Mv.
  • Portanto não existe matriz M tal que B(u,v)=u^{T}Mv para todos u,v. Logo não é possível determinar uma matriz associada à B (na base canônica nem em qualquer base), porque a relação esperada forma-bilinear ↔ matriz falha.

Passo 7

Sobre simetria (forma bilinear simétrica e matriz simétrica).
  • Definição: uma forma bilinear B é simétrica se, para todos u,v, B(u,v)=B(v,u). Se tivéssemos uma matriz M associada, essa condição seria equivalente a M ser simétrica ( M^{T}=M).
  • Aqui: B não é bilinear, então não podemos classificar B como “forma bilinear simétrica” porque sequer é forma bilinear. Além disso, olhando na prática:
\begin{aligned} &B\bigl((x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2})\bigr) = -x_{1}y_{1} + 2y_{1}x_{2} + 5x_{2}y_{2},\\\ &B\bigl((x_{2},y_{2}),(x_{1},y_{1})\bigr) = -x_{2}y_{2} + 2y_{2}x_{1} + 5x_{1}y_{1}. \end{aligned}
Essas duas expressões não coincidem em geral, então a função B(u,v) também não é simétrica como função de troca dos argumentos. Portanto não é simétrica como forma bilinear (além de não ser bilinear). Consequentemente também não existe uma matriz associada para testar simetria de matriz.

Passo 8

Sobre autovalores.
  • Os autovalores que se pede são os autovalores da matriz associada à forma bilinear. Como não existe matriz associada (ver Passo 6), não há uma matriz cujos autovalores possamos calcular. Logo a pergunta sobre autovalores não se aplica ao caso concreto dado.

Resposta

\,B não é bilinear.
Não existe matriz M tal que B(u,v)=u^{T}Mv para todos u,v\in\mathbb{R}^{2} (logo não é possível determinar a matriz).
B não é uma forma bilinear simétrica (na verdade não é bilinear).
A pergunta sobre a simetria da matriz associada não se aplica (não existe matriz associada).
A determinação dos autovalores não se aplica (não existe matriz associada).

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