Considere o
-espaço vetorial
com o produto ponto.
(a) Determine a norma dos vetores
e
.
(b) Determine qual dos vetores
e
são ortogonais com
.
(c) Aplique o processo Gram-Schmidt à base
para obter uma base ortonormal de
.
(d) Determine o cículo unitário com respeito este produto interno, ou seja, determine o conjunto
(e) Faça o gráfico do círculo unitário
.
(a) Determine a norma dos vetores
(b) Determine qual dos vetores
(c) Aplique o processo Gram-Schmidt à base
(d) Determine o cículo unitário com respeito este produto interno, ou seja, determine o conjunto
Passo 1
O enunciado dá o espaço vetorial
com o produto interno padrão (produto ponto) e os vetores
além da base canônica vetor
e da base
.
As perguntas são:
(a) Calcular as normas de .
(b) Determinar quais desses vetores são ortogonais a .
(c) Aplicar o processo de Gram–Schmidt à base para obter uma base ortonormal de
.
(d) Determinar o círculo unitário relativo a este produto interno, isto é
(a) Calcular as normas de
(b) Determinar quais desses vetores são ortogonais a
(c) Aplicar o processo de Gram–Schmidt à base
(d) Determinar o círculo unitário relativo a este produto interno, isto é
(e) Fazer o gráfico do círculo unitário
.
Passo 2
Relembrando definições úteis (sem pressa, passo a passo):
- Produto interno (produto ponto) em
: para e ,
Isto é só multiplicar coordenada a coordenada e somar.
- Norma induzida por esse produto interno: para
,
Vou usar essas fórmulas diretamente para calcular as normas e testar ortogonalidade.
Passo 3
Calcular a norma de
.
Primeiro a autoproduto:
Primeiro a autoproduto:
Então a norma é
Explicando: somei os quadrados das coordenadas e tirei a raiz — isso dá o comprimento do vetor.
Passo 4
Calcular a norma de
.
Primeiro a autoproduto:
Primeiro a autoproduto:
Logo
Passo 5
Calcular a norma de
.
Primeiro a autoproduto:
Primeiro a autoproduto:
Então
Passo 6
Definição de ortogonalidade (para não restar dúvida): um vetor
é ortogonal a
se
. Aqui
. Vou calcular
.
Passo 7
Calcular
:
Como
,
não é ortogonal a
.
Passo 8
Calcular
:
Como
,
não é ortogonal a
.
Passo 9
Calcular
:
Como
,
não é ortogonal a
.
Conclusão parcial: nenhum dos vetores
é ortogonal a
.
Passo 10
Agora Gram–Schmidt para
com
.
Vou expor a fórmula e depois aplicar:
Vou expor a fórmula e depois aplicar:
- Primeiro vetor ortogonal:
. - Normalizar:
. - Segundo vetor ortogonal: primeiro calcular a projeção de
sobre ,
pois
. Depois
.
- Normalizar:
.
Isto garanteortonormal.
Passo 11
Aplicando ao caso concreto.
Começo com . Tem norma
Começo com
logo já é unitário; então
Passo 12
Calcular projeção de
sobre
:
Então o vetor orthogonal a
é
Passo 13
Normalizando
:
portanto
Assim a base ortonormal obtida é
— a base canônica.
Passo 14
Determinar o círculo unitário
. Por definição
Escrevendo
e usando
, a condição
é equivalente a
Portanto
Passo 15
Gráfico do círculo unitário
(como esboço, para a prova saber desenhar):
- É um círculo centrado em
com raio . - Interceptos com os eixos:
. - Para desenhar na folha: marcar o ponto
como centro, medir uma unidade para direita/esquerda/acima/abaixo e traçar a curva suave que passa por esses quatro pontos. Isso dá o círculo de equação .
Resposta
(a)
(b) Nenhum dos vetores
é ortogonal a
(c) Uma base ortonormal obtida é
(d)
(e) Círculo centrado em
com raio
; interceptos em