Considere o \mathbb{R}-espaço vetorial \mathbb{R}^{2} com o produto ponto.
(a) Determine a norma dos vetores u=\binom{4}{-2}, v=\binom{-2}{7} e w=\binom{1}{-1}.
(b) Determine qual dos vetores u, v e w são ortogonais com e_{1}.
(c) Aplique o processo Gram-Schmidt à base B=\left\{\binom{1}{0},\binom{1}{1}\right\} para obter uma base ortonormal de \mathbb{R}^{2}.
(d) Determine o cículo unitário com respeito este produto interno, ou seja, determine o conjunto
S^{1}:=\left\{v \in \mathbb{R}^{2}:\|v\|=1\right\}
(e) Faça o gráfico do círculo unitário S^{1}.

Passo 1

O enunciado dá o espaço vetorial \mathbb{R}^{2} com o produto interno padrão (produto ponto) e os vetores
u=\binom{4}{-2},\qquad v=\binom{-2}{7},\qquad w=\binom{1}{-1},
além da base canônica vetor e_{1}=\binom{1}{0} e da base B=\left\{\binom{1}{0},\binom{1}{1}\right\}.
As perguntas são:
(a) Calcular as normas de u,v,w.
(b) Determinar quais desses vetores são ortogonais a e_{1}.
(c) Aplicar o processo de Gram–Schmidt à base B para obter uma base ortonormal de \mathbb{R}^{2}.
(d) Determinar o círculo unitário relativo a este produto interno, isto é
S^{1}:=\left\{v\in\mathbb{R}^{2}:\|v\|=1\right\}.
(e) Fazer o gráfico do círculo unitário S^{1}.

Passo 2

Relembrando definições úteis (sem pressa, passo a passo):
  • Produto interno (produto ponto) em \mathbb{R}^{2}: para a=\binom{a_{1}}{a_{2}} e b=\binom{b_{1}}{b_{2}},
\langle a,b\rangle = a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}.
Isto é só multiplicar coordenada a coordenada e somar.
  • Norma induzida por esse produto interno: para v\in\mathbb{R}^{2},
\|v\|=\sqrt{\langle v,v\rangle}=\sqrt{v_{1}^{2}+v_{2}^{2}}.
Vou usar essas fórmulas diretamente para calcular as normas e testar ortogonalidade.

Passo 3

Calcular a norma de u=\binom{4}{-2}.
Primeiro a autoproduto:
\langle u,u\rangle = 4^{2}+(-2)^{2}=16+4=20.
Então a norma é
\|u\|=\sqrt{20}=2\sqrt{5}.
Explicando: somei os quadrados das coordenadas e tirei a raiz — isso dá o comprimento do vetor.

Passo 4

Calcular a norma de v=\binom{-2}{7}.
Primeiro a autoproduto:
\langle v,v\rangle = (-2)^{2}+7^{2}=4+49=53.
Logo
\|v\|=\sqrt{53}.

Passo 5

Calcular a norma de w=\binom{1}{-1}.
Primeiro a autoproduto:
\langle w,w\rangle = 1^{2}+(-1)^{2}=1+1=2.
Então
\|w\|=\sqrt{2}.

Passo 6

Definição de ortogonalidade (para não restar dúvida): um vetor x é ortogonal a y se \langle x,y\rangle=0. Aqui e_{1}=\binom{1}{0}. Vou calcular \langle u,e_{1}\rangle,\\ \langle v,e_{1}\rangle,\\ \langle w,e_{1}\rangle.

Passo 7

Calcular \langle u,e_{1}\rangle:
\langle u,e_{1}\rangle = 4\cdot 1 + (-2)\cdot 0 = 4 + 0 = 4.
Como 4\neq 0, u não é ortogonal a e_{1}.

Passo 8

Calcular \langle v,e_{1}\rangle:
\langle v,e_{1}\rangle = (-2)\cdot 1 + 7\cdot 0 = -2 + 0 = -2.
Como -2\neq 0, v não é ortogonal a e_{1}.

Passo 9

Calcular \langle w,e_{1}\rangle:
\langle w,e_{1}\rangle = 1\cdot 1 + (-1)\cdot 0 = 1 + 0 = 1.
Como 1\neq 0, w não é ortogonal a e_{1}.
Conclusão parcial: nenhum dos vetores u,v,w é ortogonal a e_{1}.

Passo 10

Agora Gram–Schmidt para B=\left\{b_{1},b_{2}\right\} com b_{1}=\binom{1}{0},\\ b_{2}=\binom{1}{1}.
Vou expor a fórmula e depois aplicar:
  • Primeiro vetor ortogonal: u_{1}=b_{1}.
  • Normalizar: e_{1}=\dfrac{u_{1}}{\|u_{1}\|}.
  • Segundo vetor ortogonal: primeiro calcular a projeção de b_{2} sobre e_{1},
\operatorname{proj}_{e_{1}}(b_{2})=\langle b_{2},e_{1}\rangle\,e_{1},
pois \|e_{1}\|=1. Depois u_{2}=b_{2}-\operatorname{proj}_{e_{1}}(b_{2}).
  • Normalizar: e_{2}=\dfrac{u_{2}}{\|u_{2}\|}.
    Isto garante \{e_{1},e_{2}\} ortonormal.

Passo 11

Aplicando ao caso concreto.
Começo com b_{1}=\binom{1}{0}. Tem norma
\|b_{1}\|=\sqrt{1^{2}+0^{2}}=1,
logo já é unitário; então
e_{1}=\binom{1}{0}.

Passo 12

Calcular projeção de b_{2}=\binom{1}{1} sobre e_{1}:
\langle b_{2},e_{1}\rangle = 1\cdot 1 + 1\cdot 0 = 1,
\operatorname{proj}_{e_{1}}(b_{2}) = 1\cdot e_{1} = \binom{1}{0}.
Então o vetor orthogonal a e_{1} é
u_{2}=b_{2}-\operatorname{proj}_{e_{1}}(b_{2})=\binom{1}{1}-\binom{1}{0}=\binom{0}{1}.

Passo 13

Normalizando u_{2}=\binom{0}{1}:
\|u_{2}\|=\sqrt{0^{2}+1^{2}}=1,
portanto
e_{2}=\binom{0}{1}.
Assim a base ortonormal obtida é \left\{\binom{1}{0},\binom{0}{1}\right\} — a base canônica.

Passo 14

Determinar o círculo unitário S^{1}. Por definição
S^{1}=\{v\in\mathbb{R}^{2}:\|v\|=1\}.
Escrevendo v=\binom{x}{y} e usando \|v\|=\sqrt{x^{2}+y^{2}}, a condição \|v\|=1 é equivalente a
x^{2}+y^{2}=1.
Portanto
S^{1}=\left\{\binom{x}{y}\in\mathbb{R}^{2}:x^{2}+y^{2}=1\right\}.

Passo 15

Gráfico do círculo unitário S^{1} (como esboço, para a prova saber desenhar):
  • É um círculo centrado em \binom{0}{0} com raio 1.
  • Interceptos com os eixos: \binom{1}{0},\\ \binom{-1}{0},\\ \binom{0}{1},\\ \binom{0}{-1}.
  • Para desenhar na folha: marcar o ponto \binom{0}{0} como centro, medir uma unidade para direita/esquerda/acima/abaixo e traçar a curva suave que passa por esses quatro pontos. Isso dá o círculo de equação x^{2}+y^{2}=1.

Resposta

(a) \|u\|=2\sqrt{5},\\ \|v\|=\sqrt{53},\\ \|w\|=\sqrt{2}
(b) Nenhum dos vetores u,v,w é ortogonal a e_{1}
(c) Uma base ortonormal obtida é \left\{\binom{1}{0},\binom{0}{1}\right\}
(d) S^{1}=\left\{\binom{x}{y}\in\mathbb{R}^{2}:x^{2}+y^{2}=1\right\}
(e) Círculo centrado em \binom{0}{0} com raio 1; interceptos em \binom{1}{0},\binom{-1}{0},\binom{0}{1},\binom{0}{-1}

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