Calcule as dimensões de uma lata cilíndrica (com tampa) de 12 cm^3 de volume, para que se gaste a menor quantidade possível de metal em sua produção.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as dimensões de uma lata cilíndrica (ou seja, o raio e a altura) que tem um volume de 12 , cm^3. O objetivo é usar a menor quantidade possível de metal, o que significa que vamos minimizar a área de superfície da lata. Para isso, vamos precisar usar conhecimentos de geometria e cálculo de funções, especialmente sobre como otimizar funções com restrições.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular o volume e a área de superfície de um cilindro.
  • Volume ( V): É dado pela fórmula
V = pi r^2 h
onde r é o raio da base e h é a altura do cilindro.
  • Área de Superfície ( S): Como a lata tem tampa, a área total é a soma das áreas das duas bases e da lateral. A fórmula é
S = 2pi r^2 + 2pi r h
A primeira parte, 2pi r^2, é a área das duas tampas, e a segunda parte, 2pi r h, é a área da lateral.

Passo 3

Nosso objetivo é minimizar a área de superfície S enquanto mantemos o volume V = 12 , cm^3. Para isso, vamos usar a restrição do volume para expressar uma variável em termos da outra.
A partir da fórmula do volume:
pi r^2 h = 12
Podemos isolar h:
h = 12pi r^2

Passo 4

Agora, substituímos h na fórmula da área de superfície:
S = 2pi r^2 + 2pi r ( 12pi r^2 )
Simplificando:
S = 2pi r^2 + 24r
Agora, a área de superfície S está expressa apenas em termos do raio r. Nosso próximo passo é minimizar essa função.

Passo 5

Para encontrar o valor de r que minimiza S, vamos calcular a derivada de S em relação a r e igualar a zero. Ou seja:
dSdr = 0
Calculando a derivada:
dSdr = 4pi r - 24r^2
Igualando a zero:
4pi r - 24r^2 = 0
Vamos resolver essa equação para r.

Passo 6

Resolvendo a equação 4pi r - 24r^2 = 0:
4pi r = 24r^2
Multiplicando ambos os lados por r^2:
4pi r^3 = 24
Isolando r^3:
r^3 = 244pi = 6pi
Agora, tiramos a raiz cúbica de ambos os lados para encontrar r:
r = ( 6pi )^1/3

Passo 7

Com o valor de r encontrado, podemos substituir de volta na equação para h:
h = 12pi r^2
Substituindo r = ( 6pi )^1/3:
h = 12pi ( 6pi )^2/3 = 12pi ( pi6 )^2/3 = 12 ( 16pi )^2/3

Resposta

As dimensões que minimizam o uso de metal são:
boxed r = ( dfrac6pi )^1/3 , cm h = 12 ( dfrac16pi )^2/3 , cm

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