Calcule as dimensões de uma lata cilíndrica (com tampa) de
de volume, para que se gaste a menor quantidade possível de metal em sua produção.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as dimensões de uma lata cilíndrica (ou seja, o raio e a altura) que tem um volume de
. O objetivo é usar a menor quantidade possível de metal, o que significa que vamos minimizar a área de superfície da lata. Para isso, vamos precisar usar conhecimentos de geometria e cálculo de funções, especialmente sobre como otimizar funções com restrições.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular o volume e a área de superfície de um cilindro.
- Volume (
): É dado pela fórmula
onde
é o raio da base e
é a altura do cilindro.
- Área de Superfície (
): Como a lata tem tampa, a área total é a soma das áreas das duas bases e da lateral. A fórmula é
A primeira parte,
, é a área das duas tampas, e a segunda parte,
, é a área da lateral.
Passo 3
Nosso objetivo é minimizar a área de superfície
enquanto mantemos o volume
. Para isso, vamos usar a restrição do volume para expressar uma variável em termos da outra.
A partir da fórmula do volume:
Podemos isolar
:
Passo 4
Agora, substituímos
na fórmula da área de superfície:
Simplificando:
Agora, a área de superfície
está expressa apenas em termos do raio
. Nosso próximo passo é minimizar essa função.
Passo 5
Para encontrar o valor de
que minimiza
, vamos calcular a derivada de
em relação a
e igualar a zero. Ou seja:
Calculando a derivada:
Igualando a zero:
Vamos resolver essa equação para
.
Passo 6
Resolvendo a equação
:
Multiplicando ambos os lados por
:
Isolando
:
Agora, tiramos a raiz cúbica de ambos os lados para encontrar
:
Passo 7
Com o valor de
encontrado, podemos substituir de volta na equação para
:
Substituindo
:
Resposta
As dimensões que minimizam o uso de metal são: