Sejam
ciclos disjuntos tais que
. Prove que
.
Passo 1
O enunciado está em teoria de grupos, mais precisamente no grupo simétrico
. Temos duas permutações
e
que são ciclos disjuntos e satisfazem
onde
é a permutação identidade. Vamos usar as definições de ciclo, de suportes disjuntos e as propriedades de composição para mostrar que a única forma de
ser a identidade é que ambas sejam a própria
.
Passo 2
Por definição, dois ciclos
e
são disjuntos se não existe elemento
tal que ambos o movam, ou seja,
Em outras palavras, o suporte de
(os pontos que ela move) e o suporte de
são conjuntos disjuntos.
Passo 3
Suponha, por contradição, que
. Então existe
tal que
. Como
e
são disjuntos, segue
. Logo,
o que contradiz o fato de
, pois a identidade devia mandar todo
em si mesmo.
Passo 4
A contradição mostra que não pode existir
com
. Logo
.
Passo 5
Como agora sabemos
e
, basta compor à esquerda por
para obter