Sejam sigma, varphi in S ciclos disjuntos tais que sigma o varphi=epsilon. Prove que sigma=varphi=epsilon.

Passo 1

O enunciado está em teoria de grupos, mais precisamente no grupo simétrico Sn. Temos duas permutações sigma e varphi que são ciclos disjuntos e satisfazem
sigmacircvarphi = epsilon,
onde epsilon é a permutação identidade. Vamos usar as definições de ciclo, de suportes disjuntos e as propriedades de composição para mostrar que a única forma de sigmacircvarphi ser a identidade é que ambas sejam a própria epsilon.

Passo 2

Por definição, dois ciclos sigma e varphi são disjuntos se não existe elemento i tal que ambos o movam, ou seja,
se sigma(i)neq i então varphi(i)=i, e se varphi(i)neq i então sigma(i)=i ãã
Em outras palavras, o suporte de sigma (os pontos que ela move) e o suporte de varphi são conjuntos disjuntos.

Passo 3

Suponha, por contradição, que sigmaneqepsilon. Então existe i tal que sigma(i)neq i. Como sigma e varphi são disjuntos, segue varphi(i)=i. Logo,
(sigmacircvarphi)(i) =sigmal(varphi(i)r) =sigma(i)neq i,
o que contradiz o fato de sigmacircvarphi=epsilon, pois a identidade devia mandar todo i em si mesmo.

Passo 4

A contradição mostra que não pode existir i com sigma(i)neq i. Logo sigma=epsilon.

Passo 5

Como agora sabemos sigma=epsilon e sigmacircvarphi=epsilon, basta compor à esquerda por sigma^-1=epsilon para obter
varphi =sigma^-1circ(sigmacircvarphi) =epsiloncircepsilon =epsilon

Resposta

sigma = epsilon e varphi = epsilon.

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