Responda as seguintes perguntas sobre as funções cujas derivadas são dadas nos exercícios 5-8.
(a) Quais são os pontos críticos de f ?
(b) Em quais intervalos f é crescente ou decrescente?
(c) Em quais pontos, se houver, f assume valores máximos e mínimos locais?
f^{\prime}(x)=(x-1)(x+2)

Passo 1

O enunciado fornece a derivada
f'(x) = (x-1)(x+2)
e pede:
(a) os pontos críticos de f,
(b) os intervalos em que f é crescente ou decrescente,
(c) os pontos de máximo e mínimo locais.

Passo 2

Para encontrar os pontos críticos, resolvemos f'(x)=0 e verificamos onde f' não existe. Como
f'(x)=(x-1)(x+2)
é um polinômio, está definido para todo x. As raízes são dadas por
x-1=0\implies x=1,
x+2=0\implies x=-2.
Logo, os pontos críticos são x=-2 e x=1.

Passo 3

Para determinar onde f cresce ou decresce, analisamos o sinal de f'(x) em cada região determinada pelos pontos críticos:
  • Em x<-2, por exemplo em x=-3: f'(-3)=(-3-1)(-3+2)=(-4)\cdot(-1)>0.
  • Em -2<x<1, por exemplo em x=0: f'(0)=(0-1)(0+2)=(-1)\cdot2<0.
  • Em x>1, por exemplo em x=2: f'(2)=(2-1)(2+2)=1\cdot4>0.

Passo 4

Com base nos sinais de f':
  • f é crescente quando f'>0, isto é em (-\infty,-2)\quad\text{e}\quad(1,\infty).
  • f é decrescente quando f'<0, isto é em (-2,1).

Passo 5

Os extremos locais ocorrem quando f' muda de sinal em um ponto crítico:
  • Em x=-2, f' passa de positivo para negativo, logo f tem máximo local em x=-2.
  • Em x=1, f' passa de negativo para positivo, logo f tem mínimo local em x=1.

Resposta

(a) Os pontos críticos são x=-2 e x=1.
(b) f é crescente em (-\infty,-2) e em (1,\infty); f é decrescente em (-2,1).
(c) Há máximo local em x=-2 e mínimo local em x=1.

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