Responda as seguintes perguntas sobre as funções cujas derivadas são dadas nos exercícios 5-8.
(a) Quais são os pontos críticos de
?
(b) Em quais intervalos
é crescente ou decrescente?
(c) Em quais pontos, se houver,
assume valores máximos e mínimos locais?
(a) Quais são os pontos críticos de
(b) Em quais intervalos
(c) Em quais pontos, se houver,
Passo 1
O enunciado fornece a derivada
e pede:
(a) os pontos críticos de ,
(b) os intervalos em que é crescente ou decrescente,
(c) os pontos de máximo e mínimo locais.
(a) os pontos críticos de
(b) os intervalos em que
(c) os pontos de máximo e mínimo locais.
Passo 2
Para encontrar os pontos críticos, resolvemos
e verificamos onde
não existe. Como
é um polinômio, está definido para todo
. As raízes são dadas por
Logo, os pontos críticos são
e
.
Passo 3
Para determinar onde
cresce ou decresce, analisamos o sinal de
em cada região determinada pelos pontos críticos:
- Em
, por exemplo em : - Em
, por exemplo em : - Em
, por exemplo em :
Passo 4
Com base nos sinais de
:
-
é crescente quando , isto é em -
é decrescente quando , isto é em
Passo 5
Os extremos locais ocorrem quando
muda de sinal em um ponto crítico:
- Em
, passa de positivo para negativo, logo tem máximo local em . - Em
, passa de negativo para positivo, logo tem mínimo local em .
Resposta
(a) Os pontos críticos são
e
.
(b) é crescente em
e em
;
é decrescente em
.
(c) Há máximo local em e mínimo local em
.
(b)
(c) Há máximo local em