Calcule os seguintes limites usando L’Hôpital, se necessário:
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\operatorname{sen}^{2}(2 x)}{x^{2}}

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x\to 0}\frac{\sin^{2}(2x)}{x^{2}}.
Este é um limite envolvendo função trigonométrica; vamos usar a identidade fundamental de limite
\lim_{u\to 0}\frac{\sin(u)}{u}=1,
podendo recorrer a L’Hôpital se fosse necessário, mas aqui não precisaremos.

Passo 2

Reescrevemos a expressão de modo a reconhecer a forma \operatorname{sen}(u)/u. Observe que
\frac{\operatorname{sen}^{2}(2x)}{x^{2}} =\Bigl(\frac{\operatorname{sen}(2x)}{x}\Bigr)^{2} =\Bigl(\frac{\operatorname{sen}(2x)}{2x}\cdot\frac{2x}{x}\Bigr)^{2} =\Bigl(2\cdot\frac{\operatorname{sen}(2x)}{2x}\Bigr)^{2}.

Passo 3

Aplicando o limite \lim_{u\to0}\operatorname{sen}(u)/u=1 com u=2x, temos
\lim_{x\to 0}2\cdot\frac{\operatorname{sen}(2x)}{2x} =2\cdot 1 =2.
Como nossa expressão é o quadrado disso,
\lim_{x\to0}\frac{\operatorname{sen}^{2}(2x)}{x^{2}} =\bigl(2\bigr)^{2} =4.

Resposta

4

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