Responda as seguintes questões:
Defina múltiplo escalar de um vetor.

Passo 1

O que o enunciado pede: definir o que é um “múltiplo escalar de um vetor”.
Informações dadas: somente o pedido de definição — não há mais dados numéricos. Vamos entender direitinho o que isso significa antes de escrever a definição formal.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar duas ideias simples que vamos usar sempre: o que é um vetor e o que é um escalar.
  • Um vetor é um objeto que tem magnitude (tamanho) e direção; em coordenadas eu escrevo um vetor como \mathbf{v}=(v_1,v_2,\dots,v_n).
  • Um escalar é um número real (ou, em contextos mais gerais, um número em um corpo), que eu denoto por \;k\;.
    Isso quer dizer que quando falamos em “múltiplo escalar”, estamos falando de multiplicar um vetor por um número.

Passo 3

Agora a definição algébrica básica (a forma que você deve saber para a prova):
Um vetor \mathbf{w} é múltiplo escalar de um vetor \mathbf{v} se existe um escalar \;k\; tal que
\mathbf{w}=k\mathbf{v}.
Aqui \mathbf{v} e \mathbf{w} são vetores e \;k\; é um número real. A expressão k\mathbf{v} significa multiplicar cada componente de \mathbf{v} por \;k\;.

Passo 4

Como isso funciona em coordenadas (para você conseguir calcular na prova): se
\mathbf{v}=(v_1,v_2,\dots,v_n),
então
k\mathbf{v}=(kv_1,kv_2,\dots,kv_n).
Ou seja, para verificar se \mathbf{w} é múltiplo de \mathbf{v} você verifica se existe um mesmo número \;k\; que, multiplicado componente a componente de \mathbf{v}, dá \mathbf{w}.

Passo 5

Interpretação geométrica — isso ajuda a lembrar:
  • O fator \;k\; escala o comprimento do vetor por |k|: \|\;k\mathbf{v}\|\\ = |k|\|\mathbf{v}\|.
  • Se \;k>0 então k\mathbf{v} tem a mesma direção de \mathbf{v}.
  • Se \;k<0 então k\mathbf{v} aponta na direção oposta (inverte o sentido).
  • Se \;k=0 então k\mathbf{v}=\mathbf{0} (o vetor nulo).

Passo 6

Exemplos práticos, passo a passo (faça assim na prova):
  • Exemplo 1: seja \mathbf{v}=(2,3) e k=4. Então
k\mathbf{v}=4(2,3)=(8,12).
Logo (8,12) é múltiplo escalar de (2,3) com k=4.
  • Exemplo 2: \mathbf{v}=(2,3) e k=-1. Então
-1\mathbf{v}=(-2,-3),
que é o vetor com mesma magnitude e sentido oposto.
  • Exemplo 3 (checar se um vetor é múltiplo): verificar se \mathbf{w}=(6,9) é múltiplo de \mathbf{v}=(2,3). Calcule as razões \dfrac{6}{2}=3 e \dfrac{9}{3}=3. Como deu o mesmo \;k=3 para todas as componentes, sim: \mathbf{w}=3\mathbf{v}.

Passo 7

Como encontrar \;k\; em geral (receita rápida para a prova): escolha uma componente i tal que v_i\neq 0 e calcule \;k=\dfrac{w_i}{v_i}\;. Depois verifique que essa mesma \;k\; funciona para todas as demais componentes (ou para todas as componentes onde v_j\neq 0). Se for consistente, então \mathbf{w} é múltiplo de \mathbf{v}; se não, não é.

Passo 8

Propriedade útil e muito pedida em provas (guarde isso): dois vetores não nulos \mathbf{v} e \mathbf{w} são colineares (estão na mesma reta de origem) se, e somente se, um é múltiplo escalar do outro — ou seja, \mathbf{w}=k\mathbf{v} para algum \;k\;. Isso é frequentemente usado para testar paralelismo em geometria vetorial.

Resposta

Um vetor \mathbf{w} é múltiplo escalar de um vetor \mathbf{v} se existe um escalar \;k\; tal que \mathbf{w}=k\mathbf{v}.

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