Responda as seguintes questões:
Defina múltiplo escalar de um vetor.
Defina múltiplo escalar de um vetor.
Passo 1
O que o enunciado pede: definir o que é um “múltiplo escalar de um vetor”.
Informações dadas: somente o pedido de definição — não há mais dados numéricos. Vamos entender direitinho o que isso significa antes de escrever a definição formal.
Informações dadas: somente o pedido de definição — não há mais dados numéricos. Vamos entender direitinho o que isso significa antes de escrever a definição formal.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar duas ideias simples que vamos usar sempre: o que é um vetor e o que é um escalar.
- Um vetor é um objeto que tem magnitude (tamanho) e direção; em coordenadas eu escrevo um vetor como
. - Um escalar é um número real (ou, em contextos mais gerais, um número em um corpo), que eu denoto por
.
Isso quer dizer que quando falamos em “múltiplo escalar”, estamos falando de multiplicar um vetor por um número.
Passo 3
Agora a definição algébrica básica (a forma que você deve saber para a prova):
Um vetor é múltiplo escalar de um vetor
se existe um escalar
tal que
Um vetor
Aqui
e
são vetores e
é um número real. A expressão
significa multiplicar cada componente de
por
.
Passo 4
Como isso funciona em coordenadas (para você conseguir calcular na prova): se
então
Ou seja, para verificar se
é múltiplo de
você verifica se existe um mesmo número
que, multiplicado componente a componente de
, dá
.
Passo 5
Interpretação geométrica — isso ajuda a lembrar:
- O fator
escala o comprimento do vetor por : . - Se
então tem a mesma direção de . - Se
então aponta na direção oposta (inverte o sentido). - Se
então (o vetor nulo).
Passo 6
Exemplos práticos, passo a passo (faça assim na prova):
- Exemplo 1: seja
e . Então
Logo
é múltiplo escalar de
com
.
- Exemplo 2:
e . Então
que é o vetor com mesma magnitude e sentido oposto.
- Exemplo 3 (checar se um vetor é múltiplo): verificar se
é múltiplo de . Calcule as razões e . Como deu o mesmo para todas as componentes, sim: .
Passo 7
Como encontrar
em geral (receita rápida para a prova): escolha uma componente
tal que
e calcule
. Depois verifique que essa mesma
funciona para todas as demais componentes (ou para todas as componentes onde
). Se for consistente, então
é múltiplo de
; se não, não é.
Passo 8
Propriedade útil e muito pedida em provas (guarde isso): dois vetores não nulos
e
são colineares (estão na mesma reta de origem) se, e somente se, um é múltiplo escalar do outro — ou seja,
para algum
. Isso é frequentemente usado para testar paralelismo em geometria vetorial.
Resposta
Um vetor
é múltiplo escalar de um vetor
se existe um escalar
tal que
.