Responda as seguintes questões:
a) Descreva um sistema de coordenadas retangulares (sistema de coordenadas ortogonais) no espaço.
b) Defina plano coordenado.
c) O que são as componentes de um vetor no espaço?
Observe que as coordenadas de um ponto P, no espaço, são iguais às componentes do vetor \overrightarrow{O P}, que vai da origem do sistema de coordenadas (ponto O ) ao ponto P. Em particular, o vetor nulo é \overrightarrow{0}=(0,0,0).
d) Soma de vetores por meio de suas componentes: como se pode fazer a soma de dois vetores quaisquer no espaço:
\vec{v}=\left(v_{1}, v_{2}, v_{3}\right)
e
\vec{w}=\left(w_{1}, w_{2}, w_{3}\right) ?
e) Multiplicação de escalar por vetor, usando componentes: como se pode fazer o produto de
\alpha \in \mathbb{R} pelo vetor
\vec{v}=\left(v_{1}, v_{2}, v_{3}\right) ?
f) Dados os vetores
\vec{v}=(1,2,-3) e
\vec{w}=(6,-5,4) e
\alpha=2 , calcule:
i)
\vec{v}+\vec{w}
ii)
\alpha \vec{w}
iii)
\alpha \vec{v}-\vec{w}

Passo 1

O enunciado pede as respostas para as letras (a) a (f). Vou listar exatamente o que é solicitado e os dados fornecidos.
  • Perguntas:
    a) Descrever um sistema de coordenadas retangulares (ortogonais) no espaço.
    b) Definir plano coordenado.
    c) Explicar o que são as componentes de um vetor no espaço.
    d) Explicar como somar vetores por meio de suas componentes, dado \vec{v}=\left(v_{1},v_{2},v_{3}\right) e \vec{w}=\left(w_{1},w_{2},w_{3}\right).
    e) Explicar como multiplicar um escalar \alpha\in\mathbb{R} por um vetor \vec{v}=\left(v_{1},v_{2},v_{3}\right) usando componentes.
    f) Com dados \vec{v}=(1,2,-3), \vec{w}=(6,-5,4) e \alpha=2, calcular:
    i) \vec{v}+\vec{w}
    ii) \alpha\vec{w}
    iii) \alpha\vec{v}-\vec{w}
  • Dados explícitos do enunciado (vou usar exatamente estes):
    \vec{v}=(1,2,-3), \vec{w}=(6,-5,4), \alpha=2.
    Observação do enunciado: as coordenadas de um ponto P são iguais às componentes do vetor \overrightarrow{OP} (o vetor da origem O até P); o vetor nulo é \overrightarrow{0}=(0,0,0).
A resolução e as explicações começam no próximo passo.

Passo 2

O que é um sistema de coordenadas retangulares (orto­gonal) no espaço — explicação didática.
  • Definição informal e imagens mentais: um sistema de coordenadas retangulares no espaço é formado por três eixos perpendiculares entre si que se cruzam num ponto chamado origem O. Normalmente chamamos esses eixos de eixo x, eixo y e eixo z. Pense neles como três linhas que se encontram em O e formam ângulos retos (90°) entre si — como os eixos de um gráfico 3D no computador.
  • Componentes formais: escolhemos três vetores unitários mutuamente perpendiculares que apontam na direção positiva de cada eixo; podemos denotá‑los por \hat{e}_1, \hat{e}_2, \hat{e}_3 (ou \mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k}). Cada ponto P no espaço tem coordenadas (x,y,z) que significam que o vetor \overrightarrow{OP} pode ser escrito como combinação linear
\overrightarrow{OP}=x\hat{e}_1+y\hat{e}_2+z\hat{e}_3.
Aqui x,y,z são números reais que dizem “quanto” andar em cada eixo a partir da origem para chegar em P.
  • Por que é chamado ortogonal/retangular: porque os eixos formam ângulos retos; “retangular” é sinônimo de “ortogonal” aqui.

Passo 3

O que é um plano coordenado — explicação e exemplos.
  • Definição: um plano coordenado é um dos três planos formados por pares de eixos do sistema de coordenadas: o plano xy, o plano xz e o plano yz. Cada um é o conjunto de pontos do espaço que têm uma das coordenadas igual a zero.
  • Exemplos concretos:
    • O plano xy é o conjunto \{(x,y,z)\mid z=0\}. Ou seja, todos os pontos em que a terceira coordenada é zero.
    • O plano xz é \{(x,y,z)\mid y=0\}.
    • O plano yz é \{(x,y,z)\mid x=0\}.
  • Interpretação geométrica: cada plano coordenado é um plano infinito contendo dois eixos e passando pela origem. Serve para projetar pontos e vetores e visualizar suas componentes em duas dimensões.

Passo 4

O que são as componentes de um vetor no espaço — explicação detalhada.
  • Definição: dadas as bases ortogonais \hat{e}_1,\hat{e}_2,\hat{e}_3, um vetor \vec{v} no espaço tem componentes (v_1,v_2,v_3) se
\vec{v}=v_1\hat{e}_1+v_2\hat{e}_2+v_3\hat{e}_3.
Aqui v_1 é a componente ao longo do eixo x (direção de \hat{e}_1), v_2 ao longo do eixo y, e v_3 ao longo do eixo z.
  • Como interpretar geometricamente: cada componente é a projeção (com sinal) do vetor sobre o respectivo eixo; por exemplo, v_1 é quanto o vetor “anda” na direção x. Se você deslizar o vetor paralelo a si mesmo até a origem, as coordenadas do ponto final são exatamente essas componentes.
  • Como obter as componentes entre dois pontos A=(x_A,y_A,z_A) e B=(x_B,y_B,z_B): o vetor \overrightarrow{AB} tem componentes
\overrightarrow{AB}=(x_B-x_A,\;y_B-y_A,\;z_B-z_A).
Isso é útil na prova: subtrair coordenadas dos pontos dá as componentes do vetor entre eles.

Passo 5

Soma de vetores por componentes — fórmula, justificativa e exemplo.
  • Fórmula: dados \vec{v}=(v_1,v_2,v_3) e \vec{w}=(w_1,w_2,w_3),
\vec{v}+\vec{w}=(v_1+w_1,\;v_2+w_2,\;v_3+w_3).
  • Justificativa didática: escreva cada vetor na base \hat{e}_1,\hat{e}_2,\hat{e}_3:
\vec{v}=v_1\hat{e}_1+v_2\hat{e}_2+v_3\hat{e}_3,\qquad \vec{w}=w_1\hat{e}_1+w_2\hat{e}_2+w_3\hat{e}_3.
Somando membro a membro e agrupando coeficientes de cada \hat{e}_i obtemos
\vec{v}+\vec{w}=(v_1+w_1)\hat{e}_1+(v_2+w_2)\hat{e}_2+(v_3+w_3)\hat{e}_3,
o que corresponde à tupla (v_1+w_1,\;v_2+w_2,\;v_3+w_3).
  • Interpretação geométrica: corresponde à regra do paralelogramo; somar componentes é o mesmo que construir a soma vetorial geometricamente e ler suas projeções nos eixos.

Passo 6

Multiplicação de escalar por vetor por componentes — fórmula, efeito e exemplos.
  • Fórmula: dado \alpha\in\mathbb{R} e \vec{v}=(v_1,v_2,v_3),
\alpha\vec{v}=(\alpha v_1,\;\alpha v_2,\;\alpha v_3).
  • Por que funciona: expandindo \vec{v}=v_1\hat{e}_1+v_2\hat{e}_2+v_3\hat{e}_3 e usando distributividade do escalar,
\alpha\vec{v}=\alpha v_1\hat{e}_1+\alpha v_2\hat{e}_2+\alpha v_3\hat{e}_3.
  • Efeito geométrico: o escalar \alpha alonga ou contrai o vetor e, se \alpha<0, também inverte sua direção. O comprimento do vetor escala por |\alpha|.
  • Exemplo numérico rapidamente: se \vec{u}=(2,-1,3) e \alpha=3 então \alpha\vec{u}=(6,-3,9).

Passo 7

Cálculo de \vec{v}+\vec{w} com os dados numéricos (parte f-i).
  • Dados: \vec{v}=(1,2,-3), \vec{w}=(6,-5,4).
  • Soma componente a componente:
    • primeira componente: 1+6=7,
    • segunda componente: 2+(-5)=2-5=-3,
    • terceira componente: -3+4=1.
  • Portanto
\vec{v}+\vec{w}=(7,-3,1).

Passo 8

Cálculo de \alpha\vec{w} com \alpha=2 (parte f-ii).
  • Multiplicando cada componente de \vec{w}=(6,-5,4) por 2:
    • primeira: 2\cdot 6=12,
    • segunda: 2\cdot(-5)=-10,
    • terceira: 2\cdot 4=8.
  • Logo
\alpha\vec{w}=(12,-10,8).

Passo 9

Cálculo de \alpha\vec{v}-\vec{w} com \alpha=2 (parte f-iii) — faço em dois passos claros.
  • Primeiro calcule \alpha\vec{v}=2\cdot(1,2,-3):
    • 2\cdot 1=2,
    • 2\cdot 2=4,
    • 2\cdot(-3)=-6.
      Então \alpha\vec{v}=(2,4,-6).
  • Depois faça a subtração componente a componente (2,4,-6)- (6,-5,4):
    • primeira: 2-6=-4,
    • segunda: 4-(-5)=4+5=9,
    • terceira: -6-4=-10.
  • Portanto
\alpha\vec{v}-\vec{w}=(-4,9,-10).

Passo 10

Observações finais rápidas e encorajamento (rápido e motivador).
  • Relembrando regra prática para a prova: sempre trabalhe componente a componente; para soma/subtração some/subtraia cada coordenada, e para multiplicação por escalar multiplique cada coordenada pelo escalar. Se você vir um vetor entre dois pontos, subtraia coordenadas dos pontos para obter as componentes do vetor.
  • Vai dar certo — pratique alguns exemplos parecidos para fixar, e se quiser eu faço mais exercícios passo a passo com você.

Resposta

a) Um sistema de coordenadas retangulares (ortogonal) no espaço é formado por três eixos mutuamente perpendiculares que se cruzam na origem O. Cada ponto P tem coordenadas (x,y,z) tais que \overrightarrow{OP}=x\hat{e}_1+y\hat{e}_2+z\hat{e}_3.
b) Um plano coordenado é um dos planos formados por pares de eixos: por exemplo, o plano xy é \{(x,y,z)\mid z=0\}; similarmente xz e yz.
c) As componentes de um vetor \vec{v} são os números (v_1,v_2,v_3) tais que \vec{v}=v_1\hat{e}_1+v_2\hat{e}_2+v_3\hat{e}_3; geometricamente são as projeções do vetor nos eixos.
d) Soma por componentes: \displaystyle \vec{v}+\vec{w}=(v_1+w_1,\;v_2+w_2,\;v_3+w_3).
e) Multiplicação escalar por componentes: \displaystyle \alpha\vec{v}=(\alpha v_1,\;\alpha v_2,\;\alpha v_3).
f-i) \vec{v}+\vec{w}=(7,-3,1)
f-ii) \alpha\vec{w}=(12,-10,8)
f-iii) \alpha\vec{v}-\vec{w}=(-4,9,-10)

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