Sejam V=\mathcal{F}(\mathbb{R}, \mathbb{R}), W_{1}=\{f \in \mathcal{F}(\mathbb{R}, \mathbb{R}) \mid f(x)=f(-x), \forall x \in \mathbb{R}\} e W_{2}=\{f \in \mathcal{F}(\mathbb{R}, \mathbb{R}) \mid f(-x)=-f(x), \forall x \in \mathbb{R}\}. Prove que W_{1} e W_{2} são subespaçoes de V e que V=W_{1} \oplus W_{2}.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: provar que W_{1} e W_{2} são subespaços do espaço vetorial V e provar que V=W_{1}\oplus W_{2}.\n
Informações dadas:
  • V=\mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{R}) é o conjunto de todas as funções f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, com adição e multiplicação por escalar definidas ponto a ponto (ou seja, (f+g)(x)=f(x)+g(x) e (\alpha f)(x)=\alpha\cdot f(x)).\n
  • W_{1}=\{f\in V \mid f(x)=f(-x)\\ \text{para todo }x\in\mathbb{R}\} (funções pares).\n
  • W_{2}=\{f\in V \mid f(-x)=-f(x)\\ \text{para todo }x\in\mathbb{R}\} (funções ímpares).\n
    O que temos que demonstrar explicitamente:
  1. W_{1} é subespaço de V.\n
  2. W_{2} é subespaço de V.\n
  3. Todo f\in V pode ser escrito como soma de um elemento de W_{1} com um de W_{2} (ou seja, V=W_{1}+W_{2}).\n
  4. A interseção W_{1}\cap W_{2} é apenas o subespaço nulo \{0\}, de modo que a soma é direta e V=W_{1}\oplus W_{2}.

Passo 2

Provar que W_{1} é subespaço: lembro a definição prática de subespaço linear: um subconjunto não vazio S de um espaço vetorial é subespaço se for fechado sob soma e multiplicação por escalar.\n
  1. Não vazio: considere a função nula 0\in V definida por 0(x)=0 para todo x. Então
0(-x)=0=0(x)
para todo x, logo 0\in W_{1}. Assim W_{1} não é vazio.\n
2) Fechamento por soma: sejam f,g\in W_{1}. Isso significa que f(-x)=f(x) e g(-x)=g(x) para todo x. Então, para todo x,
(f+g)(-x)=f(-x)+g(-x)=f(x)+g(x)=(f+g)(x).
Portanto f+g\in W_{1}.\n
3) Fechamento por escalar: seja \alpha\in\mathbb{R} e f\in W_{1}. Para todo x,
(\alpha f)(-x)=\alpha\cdot f(-x)=\alpha\cdot f(x)=(\alpha f)(x).
Logo \alpha f\in W_{1}.\n
Concluímos que W_{1} é subespaço de V.

Passo 3

Provar que W_{2} é subespaço: aplicamos a mesma ideia.\n
  1. Não vazio: a função nula 0 satisfaz 0(-x)=0=-0= -0(x), logo 0\in W_{2}.\n
  2. Fechamento por soma: sejam f,g\in W_{2}. Então f(-x)=-f(x) e g(-x)=-g(x). Para todo x,
(f+g)(-x)=f(-x)+g(-x)=-f(x)-g(x)=-(f+g)(x).
Portanto f+g\in W_{2}.\n
3) Fechamento por escalar: seja \alpha\in\mathbb{R} e f\in W_{2}. Para todo x,
(\alpha f)(-x)=\alpha\cdot f(-x)=\alpha\cdot(-f(x))=-(\alpha f)(x).
Logo \alpha f\in W_{2}.\n
Concluímos que W_{2} é subespaço de V.

Passo 4

Mostrar que V=W_{1}+W_{2}: para isso precisamos escrever uma função arbitrária f\in V como soma de uma função par e uma ímpar.\n
Defina duas funções associadas a f por:
f_{\text{par}}(x)=\frac{f(x)+f(-x)}{2}, \qquad f_{\text{ímpar}}(x)=\frac{f(x)-f(-x)}{2}.í
Vamos verificar duas coisas: (a) f_{\text{par}}\in W_{1}, (b) f_{\text{ímpar}}\in W_{2}í, e (c) f=f_{\text{par}}+f_{\text{ímpar}}í.\n
(a) Para todo x,
f_{\text{par}}(-x)=\frac{f(-x)+f(x)}{2}=\frac{f(x)+f(-x)}{2}=f_{\text{par}}(x),
logo f_{\text{par}} é par, i.e., f_{\text{par}}\in W_{1}.\n
(b) Para todo x,
f_{\text{ímpar}}(-x)=\frac{f(-x)-f(x)}{2}=-\frac{f(x)-f(-x)}{2}=-f_{\text{ímpar}}(x),íí
logo f_{\text{ímpar}}í é ímpar, i.e., f_{\text{ímpar}}\in W_{2}í.\n
(c) Soma: para todo x,
f_{\text{par}}(x)+f_{\text{ímpar}}(x)=\frac{f(x)+f(-x)}{2}+\frac{f(x)-f(-x)}{2}=\frac{2f(x)}{2}=f(x).í
Portanto f=f_{\text{par}}+f_{\text{ímpar}}í, com f_{\text{par}}\in W_{1} e f_{\text{ímpar}}\in W_{2}í.\n
Como f foi arbitrária em V, temos V\subseteq W_{1}+W_{2}. A outra inclusão W_{1}+W_{2}\subseteq V é óbvia (soma de funções em V continua em V), então V=W_{1}+W_{2}.

Passo 5

Mostrar que a soma é direta, isto é, W_{1}\cap W_{2}=\{0\}.\n
Seja f\in W_{1}\cap W_{2}. Então f é ao mesmo tempo par e ímpar, portanto para todo x
f(-x)=f(x)\quad\text{e}\quad f(-x)=-f(x).
Comparando as duas igualdades obtemos f(x)=-f(x) para todo x, ou seja 2f(x)=0 para todo x, portanto f(x)=0 para todo x. Assim f é a função nula. Logo W_{1}\cap W_{2}=\{0\}.\n
Com isso temos que a soma W_{1}+W_{2} é direta, isto é,
V=W_{1}\oplus W_{2}.

Resposta

W_{1} e W_{2} são subespaços de V.\n
V=W_{1}\oplus W_{2}.

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