Sejam
e
. Prove que
e
são subespaçoes de
e que
.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: provar que
e
são subespaços do espaço vetorial
e provar que
.\n
Informações dadas:
Informações dadas:
-
é o conjunto de todas as funções , com adição e multiplicação por escalar definidas ponto a ponto (ou seja, e ).\n -
(funções pares).\n -
(funções ímpares).\n
O que temos que demonstrar explicitamente:
-
é subespaço de .\n -
é subespaço de .\n - Todo
pode ser escrito como soma de um elemento de com um de (ou seja, ).\n - A interseção
é apenas o subespaço nulo , de modo que a soma é direta e .
Passo 2
Provar que
é subespaço: lembro a definição prática de subespaço linear: um subconjunto não vazio
de um espaço vetorial é subespaço se for fechado sob soma e multiplicação por escalar.\n
- Não vazio: considere a função nula
definida por para todo . Então
para todo
, logo
. Assim
não é vazio.\n
2) Fechamento por soma: sejam . Isso significa que
e
para todo
. Então, para todo
,
2) Fechamento por soma: sejam
Portanto
.\n
3) Fechamento por escalar: seja e
. Para todo
,
3) Fechamento por escalar: seja
Logo
.\n
Concluímos que é subespaço de
.
Concluímos que
Passo 3
Provar que
é subespaço: aplicamos a mesma ideia.\n
- Não vazio: a função nula
satisfaz , logo .\n - Fechamento por soma: sejam
. Então e . Para todo ,
Portanto
.\n
3) Fechamento por escalar: seja e
. Para todo
,
3) Fechamento por escalar: seja
Logo
.\n
Concluímos que é subespaço de
.
Concluímos que
Passo 4
Mostrar que
: para isso precisamos escrever uma função arbitrária
como soma de uma função par e uma ímpar.\n
Defina duas funções associadas a por:
Defina duas funções associadas a
Vamos verificar duas coisas: (a)
, (b)
, e (c)
.\n
(a) Para todo ,
(a) Para todo
logo
é par, i.e.,
.\n
(b) Para todo ,
(b) Para todo
logo
é ímpar, i.e.,
.\n
(c) Soma: para todo ,
(c) Soma: para todo
Portanto
, com
e
.\n
Como foi arbitrária em
, temos
. A outra inclusão
é óbvia (soma de funções em
continua em
), então
.
Como
Passo 5
Mostrar que a soma é direta, isto é,
.\n
Seja . Então
é ao mesmo tempo par e ímpar, portanto para todo
Seja
Comparando as duas igualdades obtemos
para todo
, ou seja
para todo
, portanto
para todo
. Assim
é a função nula. Logo
.\n
Com isso temos que a soma é direta, isto é,
Com isso temos que a soma