Responda às seguintes questões:
  • a equação A x=0 possui uma solução não trivial?
  • a equação A x=b possui ao menos uma solução para todo b \neq 0 ?
    para as seguintes matrizes de coeficientes:
    A é uma matriz 3 \times 3 com três posições pivô.

Passo 1

O enunciado fornece:
  • A é uma matriz 3\times3 que tem três posições pivô.
As perguntas são:
  1. A equação \,A x=0 possui uma solução não trivial?
  2. A equação \,A x=b possui ao menos uma solução para todo b\neq 0?

Passo 2

O que significa “três posições pivô” numa matriz 3\times3?
  • Cada posição pivô corresponde a uma coluna (e a uma linha) que contém um líder na forma escalonada por linhas.
  • O número de pivôs é exatamente o posto (rank) da matriz. Escrevendo isso:
\mathrm{rank}(A)=3.
  • Como A é 3\times3 e \mathrm{rank}(A)=3, diz-se que A tem posto máximo ou é de posto completo. Consequências imediatas:
    • As três colunas de A são linearmente independentes.
    • As três colunas de A geram (span) todo o espaço \mathbb{R}^3.

Passo 3

Analisando o sistema homogêneo \,A x=0.
  • Definição: o núcleo (ou nulidade) de A é
\mathrm{Nul}(A)=\{x\in\mathbb{R}^3 \mid A x=0\}.
  • Teorema da dimensão (rank–nullity): para uma matriz 3\times3,
\dim(\mathrm{Nul}(A)) = n - \mathrm{rank}(A),
onde n é o número de colunas. Aqui n=3 e \mathrm{rank}(A)=3, logo
\dim(\mathrm{Nul}(A)) = 3 - 3 = 0.
  • Interpretando: dimensão zero do núcleo significa que o único vetor em \mathrm{Nul}(A) é o vetor zero. Em linguagem mais direta: se A x=0 e as colunas de A são c_1,c_2,c_3, então
A x = x_1 c_1 + x_2 c_2 + x_3 c_3 = 0.
Como c_1,c_2,c_3 são linearmente independentes, os coeficientes x_1,x_2,x_3 devem ser todos zero. Portanto não existem soluções não triviais.

Passo 4

Analisando o sistema não homogêneo \,A x=b.
  • Existência: como as colunas de A geram \mathbb{R}^3, qualquer vetor b\in\mathbb{R}^3 pode ser escrito como combinação linear das colunas; portanto existe x tal que A x=b. Isso vale para todo b, incluindo b\neq0.
  • Unicidade: se x e x' são duas soluções de A x=b, então A(x-x')=0. Como o núcleo de A contém só o vetor zero (Passo 3), segue x-x'=0, isto é, x=x'. Logo, a solução — quando existe — é única. Com \mathrm{rank}(A)=3 a existência vale para todo b, então a solução é única para todo b.

Passo 5

Um exemplo simples para visualizar: A=I_3 (matriz identidade 3\times3) tem três pivôs. Para I_3 x=0 só há x=0. Para I_3 x=b a solução é x=b (existe e é única para qualquer b\in\mathbb{R}^3). A situação de A com três pivôs é análoga a esse caso em termos de existência e unicidade.

Resposta

Não — apenas a solução trivial x=0.\nSim — para todo b\neq 0 (na verdade para todo b\in\mathbb{R}^3) existe exatamente uma solução.

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