Responda às seguintes questões:
- a equação
possui uma solução não trivial?
- a equação
possui ao menos uma solução para todo
?
para as seguintes matrizes de coeficientes:
A é uma matriz
com três posições pivô.
para as seguintes matrizes de coeficientes:
A é uma matriz
Passo 1
O enunciado fornece:
- A é uma matriz
que tem três posições pivô.
As perguntas são:
- A equação
possui uma solução não trivial? - A equação
possui ao menos uma solução para todo ?
Passo 2
O que significa “três posições pivô” numa matriz
?
- Cada posição pivô corresponde a uma coluna (e a uma linha) que contém um líder na forma escalonada por linhas.
- O número de pivôs é exatamente o posto (rank) da matriz. Escrevendo isso:
- Como
é e , diz-se que tem posto máximo ou é de posto completo. Consequências imediatas: - As três colunas de
são linearmente independentes. - As três colunas de
geram (span) todo o espaço .
- As três colunas de
Passo 3
Analisando o sistema homogêneo
.
- Definição: o núcleo (ou nulidade) de
é
- Teorema da dimensão (rank–nullity): para uma matriz
,
onde
é o número de colunas. Aqui
e
, logo
- Interpretando: dimensão zero do núcleo significa que o único vetor em
é o vetor zero. Em linguagem mais direta: se e as colunas de são , então
Como
são linearmente independentes, os coeficientes
devem ser todos zero. Portanto não existem soluções não triviais.
Passo 4
Analisando o sistema não homogêneo
.
- Existência: como as colunas de
geram , qualquer vetor pode ser escrito como combinação linear das colunas; portanto existe tal que . Isso vale para todo , incluindo . - Unicidade: se
e são duas soluções de , então . Como o núcleo de contém só o vetor zero (Passo 3), segue , isto é, . Logo, a solução — quando existe — é única. Com a existência vale para todo , então a solução é única para todo .
Passo 5
Um exemplo simples para visualizar:
(matriz identidade
) tem três pivôs. Para
só há
. Para
a solução é
(existe e é única para qualquer
). A situação de
com três pivôs é análoga a esse caso em termos de existência e unicidade.
Resposta
Não — apenas a solução trivial
.\nSim — para todo
(na verdade para todo
) existe exatamente uma solução.