Suponha que A seja a matriz nula 3 \times 3, isto é, com todas as entradas iguais a zero. Descreva o conjunto solução do sistema linear homogêneo com matriz de coeficientes A(A x=0).
Passo 1
O enunciado dá que A é a matriz nula 3\times3 (todas as entradas iguais a zero) e pede para descrever o conjunto solução do sistema linear homogêneo com matriz de coeficientes A, isto é, resolver
A x = 0.
Informações relevantes que temos:
A é a matriz 3\times3 com todas as entradas nulas.
A incógnita é o vetor x\in\mathbb{R}^3, que podemos escrever como x=\begin{pmatrix}x_1\\[4pt]x_2\\[4pt]x_3\end{pmatrix}.
O objetivo: descrever todos os vetores x que satisfazem A x = 0.]
Passo 2
Escrevendo explicitamente a matriz nula e multiplicando por x. A matriz A é
Cada equação da forma 0\cdot x_1+0\cdot x_2+0\cdot x_3=0 é a identidade 0=0, que não impõe nenhuma restrição sobre x_1,x_2,x_3.]
Passo 3
Interpretação: como nenhuma das três equações impõe restrição, qualquer escolha de x_1,x_2,x_3\in\mathbb{R} satisfaz A x=0. Logo o conjunto solução é formado por todos os vetores de \mathbb{R}^3.
onde e_1=(1,0,0)^T, e_2=(0,1,0)^T, e_3=(0,0,1)^T.]
Passo 4
Comentário útil de teoria (para fixar): o posto (rank) de A é 0 porque todas as linhas/colunas são nulas. Pelo teorema do posto-nulidade para uma transformação linear de \mathbb{R}^3 em \mathbb{R}^3,
portanto \operatorname{nullity}(A)=3, isto é, a dimensão do espaço de soluções é 3 — o espaço inteiro \mathbb{R}^3. Exemplos de soluções: \begin{pmatrix}1\\[4pt]0\\[4pt]0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}0\\[4pt]1\\[4pt]0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}0\\[4pt]0\\[4pt]1\end{pmatrix}, ou qualquer combinação linear delas.]