Suponha que A seja a matriz nula 3 \times 3, isto é, com todas as entradas iguais a zero. Descreva o conjunto solução do sistema linear homogêneo com matriz de coeficientes A(A x=0).

Passo 1

O enunciado dá que A é a matriz nula 3\times3 (todas as entradas iguais a zero) e pede para descrever o conjunto solução do sistema linear homogêneo com matriz de coeficientes A, isto é, resolver
A x = 0.
Informações relevantes que temos:
  • A é a matriz 3\times3 com todas as entradas nulas.
  • A incógnita é o vetor x\in\mathbb{R}^3, que podemos escrever como x=\begin{pmatrix}x_1\\[4pt]x_2\\[4pt]x_3\end{pmatrix}.
  • O objetivo: descrever todos os vetores x que satisfazem A x = 0.]

Passo 2

Escrevendo explicitamente a matriz nula e multiplicando por x. A matriz A é
A=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.
Multiplicando A por x=\begin{pmatrix}x_1\\[4pt]x_2\\[4pt]x_3\end{pmatrix} obtemos, linha a linha,
A x= \begin{pmatrix} 0\cdot x_1 + 0\cdot x_2 + 0\cdot x_3\\[4pt] 0\cdot x_1 + 0\cdot x_2 + 0\cdot x_3\\[4pt] 0\cdot x_1 + 0\cdot x_2 + 0\cdot x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\[4pt]0\\[4pt]0\end{pmatrix}.
Cada equação da forma 0\cdot x_1+0\cdot x_2+0\cdot x_3=0 é a identidade 0=0, que não impõe nenhuma restrição sobre x_1,x_2,x_3.]

Passo 3

Interpretação: como nenhuma das três equações impõe restrição, qualquer escolha de x_1,x_2,x_3\in\mathbb{R} satisfaz A x=0. Logo o conjunto solução é formado por todos os vetores de \mathbb{R}^3.
Forma paramétrica útil para a prova:
x=\begin{pmatrix}x_1\\[4pt]x_2\\[4pt]x_3\end{pmatrix},\qquad x_1,x_2,x_3\in\mathbb{R}.
Outra descrição padrão: o conjunto solução é o subespaço gerado pela base canônica,
\operatorname{Ker}(A)=\operatorname{span}\{\,e_1,e_2,e_3\,\}=\mathbb{R}^3,
onde e_1=(1,0,0)^T, e_2=(0,1,0)^T, e_3=(0,0,1)^T.]

Passo 4

Comentário útil de teoria (para fixar): o posto (rank) de A é 0 porque todas as linhas/colunas são nulas. Pelo teorema do posto-nulidade para uma transformação linear de \mathbb{R}^3 em \mathbb{R}^3,
\operatorname{rank}(A)+\operatorname{nullity}(A)=3,
portanto \operatorname{nullity}(A)=3, isto é, a dimensão do espaço de soluções é 3 — o espaço inteiro \mathbb{R}^3. Exemplos de soluções: \begin{pmatrix}1\\[4pt]0\\[4pt]0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}0\\[4pt]1\\[4pt]0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}0\\[4pt]0\\[4pt]1\end{pmatrix}, ou qualquer combinação linear delas.]

Resposta

O conjunto solução é \mathbb{R}^3, isto é,
\{\, (x_1,x_2,x_3)^T \mid x_1,x_2,x_3\in\mathbb{R}\,\}.

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