Suponha que um sistema linear não homogêneo ( A x=b ) tenha solução. Explique por que a solução é única precisamente quando o sistema linear homogêneo com a mesma matriz de coeficientes ( A x=0 ) possui apenas a solução trivial.

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações e pede o quê exatamente:
  • Dado: um sistema linear não homogêneo \,A x = b\, que tem pelo menos uma solução (ou seja, existe algum vetor p tal que A p = b).
  • Queremos explicar por que: a solução de \,A x = b\, é única precisamente quando o sistema homogêneo associado \,A x = 0\, tem apenas a solução trivial x=0.
Informações relevantes que já temos (sem resolver ainda):
  • A letra A denota a matriz dos coeficientes (pode ser retangular ou quadrada).
  • O vetor x é o vetor incógnita (coluna) e b é o termo independente (coluna).
  • Sabemos que existe pelo menos uma solução de \,A x = b\, (ou seja, o conjunto de soluções não é vazio).

Passo 2

Definições importantes (vai ajudar a entender a prova; explico como se fosse uma aula rápida e prática).
  • Definição do espaço nulo (ou núcleo) de A: \mathcal{N}(A)=\{v \mid A v = 0\}. Este é o conjunto de todas as soluções do sistema homogêneo \,A x = 0.
    • Cada vetor em \mathcal{N}(A) é chamado de vetor nulo (ou solução homogênea).
  • Definição de solução particular: um vetor p tal que A p = b. Como o enunciado garante existência, podemos assumir que existe pelo menos um p.
Por que essas definições importam? Porque a linearidade de A (transformação linear) dá propriedades simples que vamos usar: A(u+v)=Au+Av e A(\lambda v)=\lambda Av para quaisquer vetores u,v e escalar \lambda.

Passo 3

Mostre que, a partir de uma solução particular p e de qualquer vetor n\in\mathcal{N}(A), obtém-se outra solução de \,A x = b.
Tomemos p tal que A p = b (isso foi dado). Seja n um vetor com A n = 0 (ou seja, n\in\mathcal{N}(A)). Então, pela linearidade:
A(p+n)=A p + A n = b + 0 = b.
Portanto p+n é também solução de \,A x=b.
Interpretação intuitiva: a cada solução particular p pode-se somar qualquer solução do homogêneo e continuar com uma solução de \,A x=b. Logo as soluções de \,A x=b vêm em “famílias” do tipo p+\mathcal{N}(A).

Passo 4

Mostre que qualquer diferença entre duas soluções de \,A x=b pertence ao núcleo \mathcal{N}(A).
Sejam x_1 e x_2 duas soluções de \,A x=b. Então A x_1 = b e A x_2 = b. Subtraindo:
A(x_1 - x_2) = A x_1 - A x_2 = b - b = 0.
Logo x_1 - x_2 \in \mathcal{N}(A).
Isso mostra que duas soluções quaisquer diferem por um vetor do núcleo. Em linguagem prática: o conjunto de todas as soluções de \,A x=b é exatamente um vetor particular p somado a todos os vetores do núcleo:
\{x\mid A x=b\} = p + \mathcal{N}(A).

Passo 5

Prova da implicação direta (se \mathcal{N}(A)=\{0\} então a solução de A x=b é única).
Suponha que o sistema homogêneo só tem a solução trivial, isto é \mathcal{N}(A)=\{0\}. Tome quaisquer duas soluções x_1 e x_2 de \,A x=b. Pelo passo 4 sabemos que x_1-x_2\in\mathcal{N}(A). Mas o único vetor no núcleo é 0, então x_1-x_2=0. Portanto x_1=x_2. Como x_1 e x_2 eram soluções arbitrárias, segue que existe no máximo (e portanto exatamente) uma solução de \,A x=b. Conclusão: solução única.
Explicando em palavras: se não há vetores não nulos que solucionem A x=0, então não há “direção” para deslocar uma solução particular sem estragar a igualdade A x=b. Assim, não se consegue construir outra solução distinta.

Passo 6

Prova da implicação recíproca (se A x=b tem solução única então \mathcal{N}(A)=\{0\}).
Suponha, por contradição construtivo, que exista um vetor não nulo n\in\mathcal{N}(A) com n\neq 0 e A n = 0. Como o sistema não homogêneo tem solução (dado), tome um particular p com A p = b. Pelo passo 3, o vetor p+n também satisfaz
A(p+n)=b.
Mas p+n\neq p porque n\neq 0. Assim existem pelo menos duas soluções distintas ( p e p+n), contradizendo a hipótese de unicidade. Logo não pode existir vetor não nulo no núcleo, ou seja \mathcal{N}(A)=\{0\}.

Passo 7

Síntese e dica prática para a prova
  • Resumo lógico: a solução de \,A x=b (quando existe) é única se, e somente se, o núcleo \mathcal{N}(A) contém apenas o vetor zero. Isso é porque todas as soluções têm a forma p + n com n\in\mathcal{N}(A); então a existência de qualquer n\neq 0 gera múltiplas soluções.
  • Dica prática para a prova/exame: se quiser verificar unicidade, resolva o homogêneo \,A x=0. Se, ao escalonar, aparecerem variáveis livres (graus de liberdade), então \mathcal{N}(A) tem dimensão positiva e haverá infinitas soluções para \,A x=b (se este for compatível). Se não houver variáveis livres (apenas a solução trivial do homogêneo), a solução do não homogêneo — quando existe — será única.
  • Observação sobre o caso quadrado: se A é quadrada n\times n, então \mathcal{N}(A)=\{0\} é equivalente a \det(A)\neq 0 e a existência de inversa A^{-1}; aí a solução única é x=A^{-1}b. Mas nossa prova acima vale também para A retangular.

Resposta

A solução de \,A x=b\, é única se, e somente se, o sistema homogêneo \,A x=0\, possui apenas a solução trivial x=0.

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