Suponha que um sistema linear não homogêneo (
) tenha solução. Explique por que a solução é única precisamente quando o sistema linear homogêneo com a mesma matriz de coeficientes (
) possui apenas a solução trivial.
Passo 1
O enunciado nos dá as seguintes informações e pede o quê exatamente:
- Dado: um sistema linear não homogêneo
que tem pelo menos uma solução (ou seja, existe algum vetor tal que ). - Queremos explicar por que: a solução de
é única precisamente quando o sistema homogêneo associado tem apenas a solução trivial .
Informações relevantes que já temos (sem resolver ainda):
- A letra
denota a matriz dos coeficientes (pode ser retangular ou quadrada). - O vetor
é o vetor incógnita (coluna) e é o termo independente (coluna). - Sabemos que existe pelo menos uma solução de
(ou seja, o conjunto de soluções não é vazio).
Passo 2
Definições importantes (vai ajudar a entender a prova; explico como se fosse uma aula rápida e prática).
- Definição do espaço nulo (ou núcleo) de
: . Este é o conjunto de todas as soluções do sistema homogêneo . - Cada vetor em
é chamado de vetor nulo (ou solução homogênea).
- Cada vetor em
- Definição de solução particular: um vetor
tal que . Como o enunciado garante existência, podemos assumir que existe pelo menos um .
Por que essas definições importam? Porque a linearidade de
(transformação linear) dá propriedades simples que vamos usar:
e
para quaisquer vetores
e escalar
.
Passo 3
Mostre que, a partir de uma solução particular
e de qualquer vetor
, obtém-se outra solução de
.
Tomemos
tal que
(isso foi dado). Seja
um vetor com
(ou seja,
). Então, pela linearidade:
Portanto
é também solução de
.
Interpretação intuitiva: a cada solução particular
pode-se somar qualquer solução do homogêneo e continuar com uma solução de
. Logo as soluções de
vêm em “famílias” do tipo
.
Passo 4
Mostre que qualquer diferença entre duas soluções de
pertence ao núcleo
.
Sejam
e
duas soluções de
. Então
e
. Subtraindo:
Logo
.
Isso mostra que duas soluções quaisquer diferem por um vetor do núcleo. Em linguagem prática: o conjunto de todas as soluções de
é exatamente um vetor particular
somado a todos os vetores do núcleo:
Passo 5
Prova da implicação direta (se
então a solução de
é única).
Suponha que o sistema homogêneo só tem a solução trivial, isto é
. Tome quaisquer duas soluções
e
de
. Pelo passo 4 sabemos que
. Mas o único vetor no núcleo é
, então
. Portanto
. Como
e
eram soluções arbitrárias, segue que existe no máximo (e portanto exatamente) uma solução de
. Conclusão: solução única.
Explicando em palavras: se não há vetores não nulos que solucionem
, então não há “direção” para deslocar uma solução particular sem estragar a igualdade
. Assim, não se consegue construir outra solução distinta.
Passo 6
Prova da implicação recíproca (se
tem solução única então
).
Suponha, por contradição construtivo, que exista um vetor não nulo
com
e
. Como o sistema não homogêneo tem solução (dado), tome um particular
com
. Pelo passo 3, o vetor
também satisfaz
Mas
porque
. Assim existem pelo menos duas soluções distintas (
e
), contradizendo a hipótese de unicidade. Logo não pode existir vetor não nulo no núcleo, ou seja
.
Passo 7
Síntese e dica prática para a prova
- Resumo lógico: a solução de
(quando existe) é única se, e somente se, o núcleo contém apenas o vetor zero. Isso é porque todas as soluções têm a forma com ; então a existência de qualquer gera múltiplas soluções. - Dica prática para a prova/exame: se quiser verificar unicidade, resolva o homogêneo
. Se, ao escalonar, aparecerem variáveis livres (graus de liberdade), então tem dimensão positiva e haverá infinitas soluções para (se este for compatível). Se não houver variáveis livres (apenas a solução trivial do homogêneo), a solução do não homogêneo — quando existe — será única. - Observação sobre o caso quadrado: se
é quadrada , então é equivalente a e a existência de inversa ; aí a solução única é . Mas nossa prova acima vale também para retangular.
Resposta
A solução de
é única se, e somente se, o sistema homogêneo
possui apenas a solução trivial
.