a equação A x=b possui ao menos uma solução para todo b \neq 0 ?
para as seguintes matrizes de coeficientes: A é uma matriz 3 \times 3 com duas posições pivô.
Passo 1
O enunciado dá a seguinte informação e pede as duas perguntas abaixo.
Informação dada:
A é uma matriz 3\times3.
A matriz A tem duas posições pivô (ou seja, exatamente duas colunas-pivô).
Perguntas:
A equação A x=0 possui uma solução não trivial?
A equação A x=b possui ao menos uma solução para todo b\neq0?
Passo 2
Interpretação do que significa “duas posições pivô” e definição de termos importantes.
“Duas posições pivô” significa que o número de pivôs (o posto da matriz) é \operatorname{rank}(A)=2.
Em geral, para uma matriz m\times n vale o Teorema da Dimensão (rank–nullity):\dim(\mathrm{Nul}(A))+\operatorname{rank}(A)=n,onde \mathrm{Nul}(A)=\{x\in\mathbb{R}^n\mid Ax=0\} é o espaço nulo e n é o número de colunas.
Aqui temos n=3 e \operatorname{rank}(A)=2. Logo
\dim(\mathrm{Nul}(A))=3-2=1.
Explicando com carinho: isso quer dizer que o espaço das soluções do sistema homogêneo Ax=0 tem dimensão 1. Há pelo menos um parâmetro livre (uma variável livre) na solução, portanto além da solução trivial x=0 existem soluções não triviais — na verdade uma família infinita de soluções que pode ser escrita como múltiplos escalares de um vetor não nulo.
Passo 3
Construção explícita da forma da solução homogênea (para entender como resolver na prova).
Depois de reduzir A por eliminação, a forma típica (exemplo genérico compatível com dois pivôs) em escalonada reduzida é\begin{pmatrix} 1 & 0 & a\\[4pt] 0 & 1 & b\\[4pt] 0 & 0 & 0 \end{pmatrix},para certos números a,b. As três variáveis são x_1,x_2,x_3. Da terceira linha obtemos 0=0 (linha nula), das duas primeiras:x_1 + a x_3=0,\qquad x_2 + b x_3=0.Tomando x_3=t (variável livre), obtemos a solução geralx=\begin{pmatrix}x_1\x_2\x_3\end{pmatrix} =t\begin{pmatrix}-a\\\ -b\\\ 1\end{pmatrix},\qquad t\in\mathbb{R}.
Aqui vê-se claramente uma solução não trivial (por exemplo t=1 dá um vetor não nulo de solução) e, de fato, infinitas soluções proporcionais entre si.
Portanto, para a pergunta 1: sim — existem soluções não triviais; a nulidade é 1 e há uma reta inteira de soluções.]
Passo 4
Análise do sistema não homogêneo A x=b e condição de existência.
Um sistema A x=b é consistentes (tem alguma solução) se e somente se b pertence ao espaço coluna de A, \operatorname{Col}(A) — isto é, se b pode ser escrito como combinação linear das colunas de A.
O espaço coluna tem dimensão igual ao posto: \dim(\operatorname{Col}(A))=\operatorname{rank}(A)=2. Logo \operatorname{Col}(A) é um subespaço de dimensão 2 dentro de \mathbb{R}^3.
Como \operatorname{Col}(A) é um plano (subespaço próprio) em \mathbb{R}^3, nem todo vetor b\in\mathbb{R}^3 pertence a esse plano. Portanto existem muitos vetores b para os quais A x=b não tem solução.
Observação útil para a prova: se algum b estiver em \operatorname{Col}(A) (ou seja, se o sistema tiver pelo menos uma solução), então a solução geral é a soma de uma solução particular x_p com qualquer solução homogênea x_h; como existem soluções homogêneas não triviais, para esses b haverá infinitas soluções (a família x_p + t x_h, t\in\mathbb{R}).
Passo 5
Exemplo concreto (para fixar a intuição):
Considere, por exemplo,A=\begin{pmatrix}1 & 0 & 1\\[4pt] 0 & 1 & 2\\[4pt] 0 & 0 & 0\end{pmatrix},que tem exatamente dois pivôs (colunas 1 e 2) e \operatorname{rank}(A)=2. As colunas são \begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}0\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}1\\\ 2\\\ 0\end{pmatrix}, todas com terceira componente 0. Assim \operatorname{Col}(A)=\{(x,y,0)^\mathsf{T}:x,y\in\mathbb{R}\}.
Para b=(0,0,1)^\mathsf{T} (terceira componente igual a 1) não existe solução, pois b\notin\operatorname{Col}(A).
Para b=(1,2,0)^\mathsf{T} existe solução; por exemplo x_3=0,\;x_1=1,\;x_2=2 é uma solução, e então há infinitas soluções porque o homogêneo tem soluções não triviais.]
Resposta
Sim. A equação A x=0 possui solução não trivial; \dim(\mathrm{Nul}(A))=1 (há infinitas soluções proporcionais a um vetor não nulo).
Não. A equação A x=b não possui ao menos uma solução para todo b\neq0; só possui solução quando b\in\operatorname{Col}(A), que é um subespaço de dimensão 2 de \mathbb{R}^3.