Responda as seguintes questões:
y1(x)=cos (3 x) e y2(x)=sen(3 x) são soluções fundamentais da EDO y^prime prime-9 y=0 ?

Passo 1

O enunciado pede para verificar se as funções y1(x)=cos(3x) e y2(x)=sin(3x) formam um sistema fundamental de soluções da equação diferencial y''-9y=0. O conteúdo é EDO linear homogênea de segunda ordem e vamos precisar testar se elas satisfazem a EDO e, em seguida, se são linearmente independentes.

Passo 2

Vamos calcular as derivadas de y1(x)=cos(3x):
A primeira derivada é
y1'(x) = -3sin(3x),
e a segunda derivada é
y1''(x) = -9cos(3x)
Substituindo na EDO:
y1'' - 9y1 = -9cos(3x) - 9cos(3x) = -18cos(3x) ne 0
Logo, y1 não satisfaz a EDO.

Passo 3

Agora para y2(x)=sin(3x):
A primeira derivada é
y2'(x) = 3cos(3x),
e a segunda derivada é
y2''(x) = -9sin(3x)
Substituindo na EDO:
y2'' - 9y2 = -9sin(3x) - 9sin(3x) = -18sin(3x) ne 0
Portanto, y2 também não satisfaz a EDO.

Passo 4

Como nenhuma das duas funções satisfaz a equação y''-9y=0, elas não podem formar um sistema fundamental de soluções dessa EDO.

Resposta

Não, nem y1(x)=cos(3x) nem y2(x)=sin(3x) são soluções, logo não formam um conjunto fundamental para a EDO y''-9y=0.

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