Responda todas as questōes com o máximo de clareza possivel apresente os cálculos.
Calcule:
integral0^1 integral-raizy+5^raizy+5 integral4-y^9-x^2 d z d x d y

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo que envolve integrais triplas. A gente vai calcular a seguinte integral:
integral0^1 integral-raizy+5^raizy+5 integral4-y^9 - x^2 dz , dx , dy
Aqui, estamos lidando com múltiplas integrais, especificamente uma integral tripla. Para resolver isso, vamos precisar entender como integrar em várias camadas, ou seja, primeiro em relação a uma variável, depois à outra e por fim à terceira. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos integrar em relação a $ z $. Olha só, a integral mais interna é em $ z $, e os limites de integração para $ z $ são de $ 4 - y $ até $ 9 - x^{2} $. A integral de $ dz $ é bem direta:
z
Então, depois de integrar em $ z $, a nossa integral fica:
z

Passo 3

Agora, vamos integrar em relação a $ x $. Os limites de integração para $ x $ são de $ -\sqrt{y+5} $ até $ \sqrt{y+5} $. Vamos quebrar a integral em partes para facilitar:
x
x
-raizy+5
Perceba que $ x^{2} $ é uma função par, ou seja, é simétrica em relação ao eixo $ y $. Isso significa que a integral de $ x^{2} $ de $ -a $ até $ a $ é simplesmente duas vezes a integral de $ x^{2} $ de $ 0 $ até $ a $. Porém, como está multiplicado por raizy+5 , teremos:
integral-raizy+5^raizy+5 5 , dx = 5 cdot [ x ]-raizy+5^raizy+5 = 5 cdot ( raizy+5 - (-raizy+5) ) = 10 raizy+5
Isso ocorre porque os termos se cancelam devido à simetria.
Então, somando tudo, a integral em $ x $ fica:
integral-raizy+5^raizy+5 y , dx = y cdot [ x ]-raizy+5^raizy+5 = y cdot ( raizy+5 - (-raizy+5) ) = 2y raizy+5

Passo 4

Agora, vamos integrar essa expressão resultante em relação a $ y $, de $ 0 $ a $ 1 $:
y
Podemos fatorar $ \sqrt{y+5} $ para simplificar:
0
Para resolver essa integral, vamos fazer uma substituição para facilitar. Vamos deixar $ u = y + 5 $. Então, $ du = dy $, e os limites de integração mudam:
  • Quando $ y = 0 $, $ u = 5 $
  • Quando $ y = 1 $, $ u = 6 $
Substituindo na integral:
1
Simplificando:
integral0^1 (10 raizy+5 + 2y raizy+5) dy

Passo 5

Vamos integrar $ u^{3/2} $ em relação a $ u $:
u^3/2
Podemos simplificar $ 6^{5/2} $ e $ 5^{5/2} $:
u
2 integral5^6 u^3/2 , du = 2 cdot [ 25 u^5/2 ]5^6 = 45 (6^5/2 - 5^5/2)
Então, substituindo de volta:
6^5/2

Resposta

Portanto, o valor da integral tripla é:
45 (36 raiz6 - 25 raiz5)

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