Responda todas as questōes com o máximo de clareza possivel apresente os cálculos.
Calcule:
Calcule:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo que envolve integrais triplas. A gente vai calcular a seguinte integral:
Aqui, estamos lidando com múltiplas integrais, especificamente uma integral tripla. Para resolver isso, vamos precisar entender como integrar em várias camadas, ou seja, primeiro em relação a uma variável, depois à outra e por fim à terceira. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos integrar em relação a $ z $. Olha só, a integral mais interna é em $ z $, e os limites de integração para $ z $ são de $ 4 - y $ até $ 9 - x^{2} $. A integral de $ dz $ é bem direta:
Então, depois de integrar em $ z $, a nossa integral fica:
Passo 3
Agora, vamos integrar em relação a $ x $. Os limites de integração para $ x $ são de $ -\sqrt{y+5} $ até $ \sqrt{y+5} $. Vamos quebrar a integral em partes para facilitar:
Perceba que $ x^{2} $ é uma função par, ou seja, é simétrica em relação ao eixo $ y $. Isso significa que a integral de $ x^{2} $ de $ -a $ até $ a $ é simplesmente duas vezes a integral de $ x^{2} $ de $ 0 $ até $ a $. Porém, como está multiplicado por
, teremos:
Isso ocorre porque os termos se cancelam devido à simetria.
Então, somando tudo, a integral em $ x $ fica:
Passo 4
Agora, vamos integrar essa expressão resultante em relação a $ y $, de $ 0 $ a $ 1 $:
Podemos fatorar $ \sqrt{y+5} $ para simplificar:
Para resolver essa integral, vamos fazer uma substituição para facilitar. Vamos deixar $ u = y + 5 $. Então, $ du = dy $, e os limites de integração mudam:
- Quando $ y = 0 $, $ u = 5 $
- Quando $ y = 1 $, $ u = 6 $
Substituindo na integral:
Simplificando:
Passo 5
Vamos integrar $ u^{3/2} $ em relação a $ u $:
Podemos simplificar $ 6^{5/2} $ e $ 5^{5/2} $:
Então, substituindo de volta:
Resposta
Portanto, o valor da integral tripla é: