Responda todas as questöes com o máximo de clareza possível.
Considerar o retângulo com lados a=5 cm e b=2 cm. Como vai variar, aproximadamente, a diagonal desse retângulo se o lado a aumentar 0,002 cm e o lado b diminuir 0,1 cm. A diagonal é dada por: d=raiza^2+b^2.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um retângulo com lados $ a = 5 , cm $ e $ b = 2 , cm $. Queremos descobrir como a diagonal $ d $ desse retângulo muda quando o lado $ a $ aumenta em $ 0,002 , cm $ e o lado $ b $ diminui em $ 0,1 , cm $. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial que nos ajudam a entender como pequenas alterações nas variáveis afetam uma função dependente delas.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a diagonal original do retângulo usando a fórmula dada:
d = raiza^2 + b^2
Substituindo os valores de $ a $ e $ b $:
a

Passo 3

Agora, vamos considerar as pequenas alterações nos lados $ a $ e $ b $. O aumento em $ a $ é $ \Delta a = 0,002 , cm $ e a diminuição em $ b $ é $ \Delta b = -0,1 , cm $.
Queremos encontrar a variação aproximada na diagonal $ \Delta d $. Para isso, usamos a aproximação linear (diferencial) da função $ d(a, b) $:
a

Passo 4

Vamos calcular as derivadas parciais de $ d $ em relação a $ a $ e $ b $.
A derivada de $ d $ em relação a $ a $ é:
d
A derivada de $ d $ em relação a $ b $ é:
a

Passo 5

Agora, substituímos essas derivadas e as variações $ \Delta a $ e $ \Delta b $ na fórmula da variação da diagonal:
De
De

Passo 6

A variação negativa indica que a diagonal está diminuindo. Portanto, a nova diagonal será:
dnovo = d + De

Resposta

A diagonal do retângulo diminui aproximadamente $ 0,035 , cm $, passando de cerca de $ 5,385 , cm $ para $ 5,350 , cm $.

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