Use o método da substituição para calcular cada integral.
integralpi^24^pi^2 cos (raizx)raizx d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral usando o método da substituição. O que a gente tem aqui é a integral definida de cos (raizx)raizx de pi^24 até pi^2. Nosso conteúdo envolve cálculo integral, especificamente a técnica de substituição para facilitar a resolução. Vamos precisar identificar uma parte da integral que podemos substituir por uma nova variável para simplificar os cálculos.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher uma substituição que torne a integral mais simples. Olhando para cos(raizx), parece uma boa ideia deixar raizx ser a nossa nova variável. Então, vamos definir:
u = raizx
Isso significa que:
x = u^2

Passo 3

Precisamos também calcular a diferencial dx em termos de du. Derivando ambos os lados de x = u^2 em relação a u:
dxdu = 2u
Então, rearranjando:
dx = 2u , du

Passo 4

Agora, substituímos todas as partes da integral original em termos de u. A integral fica:
integral cos(raizx)raizx , dx = integral cos(u)u cdot 2u , du
Aqui, raizx virou u e dx virou 2u , du.

Passo 5

Simplificando a expressão dentro da integral:
cos(u)u cdot 2u = 2cos(u)
Então, a integral se reduz a:
2 integral cos(u) , du

Passo 6

Agora, precisamos ajustar os limites de integração para a variável u. Originalmente, x vai de pi^24 até pi^2. Como u = raizx, os novos limites serão:
  • Quando x = pi^24: u = raizpi^24 = pi2
    - Quando x = pi^2:
    u = raizpi^2 = pi
Então, nossa integral agora é:
2 integralpi2^pi cos(u) , du

Passo 7

Vamos integrar 2 cos(u) em relação a u:
2 integral cos(u) , du = 2 sin(u) + C
Como estamos lidando com uma integral definida, vamos calcular os valores nos limites de pi2 e pi.

Passo 8

Aplicando os limites:
2 [ sin(pi) - sin(pi2) ]
Sabemos que sin(pi) = 0 e sin(pi2) = 1, então:
2 (0 - 1) = -2

Resposta

O valor da integral é -2.

Exercícios relacionados