Use o método da substituição para calcular cada integral.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral usando o método da substituição. O que a gente tem aqui é a integral definida de
de
até
. Nosso conteúdo envolve cálculo integral, especificamente a técnica de substituição para facilitar a resolução. Vamos precisar identificar uma parte da integral que podemos substituir por uma nova variável para simplificar os cálculos.
Passo 2
Primeiro, vamos escolher uma substituição que torne a integral mais simples. Olhando para
, parece uma boa ideia deixar
ser a nossa nova variável. Então, vamos definir:
Isso significa que:
Passo 3
Precisamos também calcular a diferencial
em termos de
. Derivando ambos os lados de
em relação a
:
Então, rearranjando:
Passo 4
Agora, substituímos todas as partes da integral original em termos de
. A integral fica:
Aqui,
Passo 5
Simplificando a expressão dentro da integral:
Então, a integral se reduz a:
Passo 6
Agora, precisamos ajustar os limites de integração para a variável
. Originalmente,
vai de
até
. Como
, os novos limites serão:
- Quando
:
- Quando:
Então, nossa integral agora é:
Passo 7
Vamos integrar
em relação a
:
Como estamos lidando com uma integral definida, vamos calcular os valores nos limites de
Passo 8
Aplicando os limites:
Sabemos que
Resposta
O valor da integral é
.