Responda V (verdadeiro) ou F (falso) e justifique as falsas:
( ) A função de onda dos elétrons tem que ser antissimétrica em relação a troca de todas as coordenadas de quaisquer duas partículas.
Passo 1
O enunciado pede para responder Verdadeiro (V) ou Falso (F) à afirmação abaixo e justificar (quando falsa):
“A função de onda dos elétrons tem que ser antissimétrica em relação a troca de todas as coordenadas de quaisquer duas partículas.”
Informações relevantes dadas:
A afirmação trata da função de onda dos elétrons e de sua simetria sob troca de partículas.
A frase menciona “todas as coordenadas”, ou seja, inclui coordenadas espaciais e também as coordenadas internas (por exemplo, spin), se for o caso.
Passo 2
O que significa “troca de duas partículas” e como representar isso formalmente.
Para duas partículas idênticas 1 e 2, o operador de permutação que troca todas as coordenadas (espaciais e de spin) é denotado por P_{12}.
Se \Psi(1,2) é a função de onda total (onde o rótulo 1 abriga as coordenadas espaciais e de spin do elétron 1, e o rótulo 2 as do elétron 2), então a ação do operador de permutação é
P_{12}\Psi(1,2)=\Psi(2,1).
A exigência de simetria/anti-simetria é uma condição sobre essa operação: por exemplo, simetria significaria P_{12}\Psi=\Psi e anti-simetria significaria P_{12}\Psi=-\Psi.
Passo 3
Princípio de exclusão de Pauli e estatística quântica: por que elétrons exigem anti-simetria do estado total.
Elétrons são férmions (têm spin \tfrac{1}{2}). Partículas com spin semi-inteiro obedecem à estatística de Fermi–Dirac.
A regra geral para partículas idênticas é:
férmions: o estado quântico total deve ser antissimétrico sob troca de duas partículas;
bósons: o estado quântico total deve ser simétrico sob troca.
para dois elétrons (ou, em geral, para qualquer par de férmions).
Essa condição é equivalente ao princípio de exclusão de Pauli e garante que não haja ocupação simultânea do mesmo estado quântico total por dois férmions.
Passo 4
Esclarecimento importante sobre “função de onda” espacial versus “função de onda total”.
Na prática a função de onda total \Psi_{\text{total}}(1,2,\dots) inclui coordenadas espaciais e as coordenadas de spin (ou seja, \Psi_{\text{total}}= parte espacial \times parte de spin, possivelmente combinadas).
A condição de anti-simetria se aplica ao estado total, ou seja, à função que depende de todas as coordenadas de cada partícula.
A parte espacial isolada não precisa ser necessariamente antissimétrica: se a parte de spin for antissimétrica, a parte espacial pode ser simétrica, e vice-versa, desde que o produto total seja antissimétrico.
spin triplete (simétrico): suas componentes satisfazem P_{12}\chi_{\text{trip}}=+\chi_{\text{trip}}. Para obter total antissimétrico, a parte espacial deve então ser antissimétrica.
Conclusão: a exigência de anti-simetria refere-se ao estado total (todas as coordenadas). Dizer que “a função de onda” tem que ser antissimétrica está correto se por “função de onda” entendemos o estado total. Se por “função de onda” entendermos apenas a parte espacial, a afirmação pode ser falsa em geral — depende do que se chama de “função de onda” no contexto. O enunciado usou “todas as coordenadas”, o que indica que ele está se referindo ao total.
Passo 5
Construção prática: determinante de Slater garante anti-simetria.
Para N elétrons, uma forma padrão de construir uma função de onda total antissimétrica é o determinante de Slater:
Atenção ao detector de pegadinhas: se o enunciado especifica “todas as coordenadas”, então está falando do estado total e a afirmação é verdadeira. Se disser apenas “parte espacial da função de onda” então não é obrigatório que essa parte seja antissimétrica; pode ser simétrica, desde que o spin compense.