Responda V (verdadeiro) ou F (falso) e justifique as falsas:
( ) A função de onda dos elétrons tem que ser antissimétrica em relação a troca de todas as coordenadas de quaisquer duas partículas.

Passo 1

O enunciado pede para responder Verdadeiro (V) ou Falso (F) à afirmação abaixo e justificar (quando falsa):
“A função de onda dos elétrons tem que ser antissimétrica em relação a troca de todas as coordenadas de quaisquer duas partículas.”
Informações relevantes dadas:
  • A afirmação trata da função de onda dos elétrons e de sua simetria sob troca de partículas.
  • A frase menciona “todas as coordenadas”, ou seja, inclui coordenadas espaciais e também as coordenadas internas (por exemplo, spin), se for o caso.

Passo 2

O que significa “troca de duas partículas” e como representar isso formalmente.
  • Para duas partículas idênticas 1 e 2, o operador de permutação que troca todas as coordenadas (espaciais e de spin) é denotado por P_{12}.
  • Se \Psi(1,2) é a função de onda total (onde o rótulo 1 abriga as coordenadas espaciais e de spin do elétron 1, e o rótulo 2 as do elétron 2), então a ação do operador de permutação é
P_{12}\Psi(1,2)=\Psi(2,1).
  • A exigência de simetria/anti-simetria é uma condição sobre essa operação: por exemplo, simetria significaria P_{12}\Psi=\Psi e anti-simetria significaria P_{12}\Psi=-\Psi.

Passo 3

Princípio de exclusão de Pauli e estatística quântica: por que elétrons exigem anti-simetria do estado total.
  • Elétrons são férmions (têm spin \tfrac{1}{2}). Partículas com spin semi-inteiro obedecem à estatística de Fermi–Dirac.
  • A regra geral para partículas idênticas é:
    • férmions: o estado quântico total deve ser antissimétrico sob troca de duas partículas;
    • bósons: o estado quântico total deve ser simétrico sob troca.
  • Em fórmulas:
P_{12}\Psi_{\text{total}}(1,2) = -\Psi_{\text{total}}(1,2)
para dois elétrons (ou, em geral, para qualquer par de férmions).
  • Essa condição é equivalente ao princípio de exclusão de Pauli e garante que não haja ocupação simultânea do mesmo estado quântico total por dois férmions.

Passo 4

Esclarecimento importante sobre “função de onda” espacial versus “função de onda total”.
  • Na prática a função de onda total \Psi_{\text{total}}(1,2,\dots) inclui coordenadas espaciais e as coordenadas de spin (ou seja, \Psi_{\text{total}}= parte espacial \times parte de spin, possivelmente combinadas).
  • A condição de anti-simetria se aplica ao estado total, ou seja, à função que depende de todas as coordenadas de cada partícula.
  • A parte espacial isolada não precisa ser necessariamente antissimétrica: se a parte de spin for antissimétrica, a parte espacial pode ser simétrica, e vice-versa, desde que o produto total seja antissimétrico.
  • Exemplo prático (dois elétrons):
    • spin singlete (antissimétrico):
    \chi_{\text{sing}} = \frac{1}{\sqrt{2}}\bigl(\alpha(1)\beta(2)-\beta(1)\alpha(2)\bigr),que satisfaz P_{12}\chi_{\text{sing}}=-\chi_{\text{sing}}.
    • Se a parte espacial for simétrica \phi_s(1,2)=\phi_s(2,1), então o produto
    \Psi_{\text{total}}(1,2)=\phi_s(1,2)\,\chi_{\text{sing}}(1,2)é antissimétrico (porque +1\times(-1)=-1).
    • spin triplete (simétrico): suas componentes satisfazem P_{12}\chi_{\text{trip}}=+\chi_{\text{trip}}. Para obter total antissimétrico, a parte espacial deve então ser antissimétrica.
  • Conclusão: a exigência de anti-simetria refere-se ao estado total (todas as coordenadas). Dizer que “a função de onda” tem que ser antissimétrica está correto se por “função de onda” entendemos o estado total. Se por “função de onda” entendermos apenas a parte espacial, a afirmação pode ser falsa em geral — depende do que se chama de “função de onda” no contexto. O enunciado usou “todas as coordenadas”, o que indica que ele está se referindo ao total.

Passo 5

Construção prática: determinante de Slater garante anti-simetria.
  • Para N elétrons, uma forma padrão de construir uma função de onda total antissimétrica é o determinante de Slater:
\Psi(1,2,\dots,N)=\frac{1}{\sqrt{N!}} \begin{vmatrix} \varphi_1(1) & \varphi_1(2) & \cdots & \varphi_1(N)\\[4pt] \varphi_2(1) & \varphi_2(2) & \cdots & \varphi_2(N)\\[4pt] \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\[4pt] \varphi_N(1) & \varphi_N(2) & \cdots & \varphi_N(N) \end{vmatrix},
onde cada \varphi_i(j) é uma função de uma partícula (espacial e spin) avaliada nas coordenadas da partícula j.
  • Trocar duas colunas do determinante (que corresponde a trocar as etiquetas das partículas) muda o sinal do determinante, assegurando anti-simetria.]

Passo 6

Resumo didático e incentivo — como lembrar na prova.
  • Regra curta para prova: “elétrons = férmions ⇒ estado total antissimétrico sob troca de quaisquer duas partículas”. Escreva a condição
\Psi_{\text{total}}(\dots,i,\dots,j,\dots) = -\Psi_{\text{total}}(\dots,j,\dots,i,\dots).
  • Atenção ao detector de pegadinhas: se o enunciado especifica “todas as coordenadas”, então está falando do estado total e a afirmação é verdadeira. Se disser apenas “parte espacial da função de onda” então não é obrigatório que essa parte seja antissimétrica; pode ser simétrica, desde que o spin compense.

Resposta

V

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