Responda V (verdadeiro) ou F (falso) e justifique as falsas:
( ) Todas as funções de spin de dois elétrons são antissimétricas.
( ) Todas as funções de spin de dois elétrons são antissimétricas.
Passo 1
O enunciado pede: avaliar se a afirmativa abaixo é verdadeira ou falsa e, se for falsa, justificar por que é falsa.
Afirmativa: ( ) Todas as funções de spin de dois elétrons são antissimétricas.
Informações dadas (apenas o que o enunciado fornece):
- Trata-se de funções de spin de um sistema com dois elétrons.
- Precisa-se responder
(verdadeiro) ou (falso). - Caso seja falsa, justificar por que é falsa.
Passo 2
Vamos listar as possíveis funções de spin para dois elétrons em termos da base canônica “spin up / spin down”. Denotamos por
o estado de spin up e por
o estado de spin down de um elétron. A base natural para dois spins é formada por:
Aqui, por exemplo,
significa elétron 1 com spin up e elétron 2 com spin down. Essas quatro combinações formam uma base para o espaço de spin do sistema de dois elétrons.
Passo 3
A partir dessas bases, é comum agrupar os estados em combinação que têm uma simetria definida sob a troca dos dois elétrons. As combinações mais importantes são o triplete (três estados simétricos) e o singlete (um estado antissimétrico). Escrevemos:
Triplete (simbólico: simétrico sob troca)
Singlete (antissimétrico sob troca)
Essas quatro funções formam uma base ortonormal do espaço de spin de dois spins
.
Passo 4
Agora vamos verificar explicitamente a simetria de cada uma sob o operador de troca
(que troca os rótulos dos elétrons 1 e 2). A ação de
é
Aplicando em
:
Portanto
é simétrico (
).
Aplicando em
:
Portanto
é antissimétrico (
).
Os outros dois estados do triplete
e
são claramente simétricos, pois
Passo 5
Conclusão técnica a partir dos passos anteriores: das quatro funções independentes de spin para dois elétrons, três são simétricas (os três estados do triplete) e apenas uma é antissimétrica (o singlete). Portanto nem todas as funções de spin são antissimétricas.
Além disso, é útil lembrar (para usar na prova) que elétrons são férmions, então o estado total (espacial
spin) deve ser antissimétrico sob troca dos dois elétrons. Assim:
- Se a parte espacial for simétrica, a parte de spin precisa ser antissimétrica (ou seja, o singlete) para garantir a antissimetria total.
- Se a parte espacial for antissimétrica, a parte de spin pode ser simétrica (um dos estados do triplete).
Um exemplo concreto e simples: se os dois elétrons ocupam o mesmo orbital espacial
, a parte espacial é
(simétrica), então o único estado de spin permitido é o singlete
. Se alguém insistisse que ambos pudessem estar em um estado de spin do triplete com a mesma orbital espacial, isso violaria o princípio de exclusão de Pauli.
Passo 6
Resposta direta à afirmativa do enunciado com justificativa sucinta: a afirmativa é falsa porque existem estados de spin simétricos (os três estados do triplete) e apenas um estado de spin antissimétrico (o singlete). Logo não é verdade que “todas” as funções de spin de dois elétrons sejam antissimétricas.
Resposta
F