Responda V (verdadeiro) ou F (falso) e justifique as falsas:
( ) Todas as funções de spin de dois elétrons são antissimétricas.

Passo 1

O enunciado pede: avaliar se a afirmativa abaixo é verdadeira ou falsa e, se for falsa, justificar por que é falsa.
Afirmativa: ( ) Todas as funções de spin de dois elétrons são antissimétricas.
Informações dadas (apenas o que o enunciado fornece):
  • Trata-se de funções de spin de um sistema com dois elétrons.
  • Precisa-se responder V (verdadeiro) ou F (falso).
  • Caso seja falsa, justificar por que é falsa.

Passo 2

Vamos listar as possíveis funções de spin para dois elétrons em termos da base canônica “spin up / spin down”. Denotamos por |\uparrow\rangle o estado de spin up e por |\downarrow\rangle o estado de spin down de um elétron. A base natural para dois spins é formada por:
|\uparrow\uparrow\rangle,\qquad |\uparrow\downarrow\rangle,\qquad |\downarrow\uparrow\rangle,\qquad |\downarrow\downarrow\rangle.
Aqui, por exemplo, |\uparrow\downarrow\rangle significa elétron 1 com spin up e elétron 2 com spin down. Essas quatro combinações formam uma base para o espaço de spin do sistema de dois elétrons.

Passo 3

A partir dessas bases, é comum agrupar os estados em combinação que têm uma simetria definida sob a troca dos dois elétrons. As combinações mais importantes são o triplete (três estados simétricos) e o singlete (um estado antissimétrico). Escrevemos:
Triplete (simbólico: simétrico sob troca)
|T_{+1}\rangle = |\uparrow\uparrow\rangle,
|T_{0}\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}\big(|\uparrow\downarrow\rangle + |\downarrow\uparrow\rangle\big),
|T_{-1}\rangle = |\downarrow\downarrow\rangle.
Singlete (antissimétrico sob troca)
|S\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}\big(|\uparrow\downarrow\rangle - |\downarrow\uparrow\rangle\big).
Essas quatro funções formam uma base ortonormal do espaço de spin de dois spins 1/2.

Passo 4

Agora vamos verificar explicitamente a simetria de cada uma sob o operador de troca P_{12} (que troca os rótulos dos elétrons 1 e 2). A ação de P_{12} é
P_{12} \big(|a\rangle_1 |b\rangle_2\big) = |b\rangle_1 |a\rangle_2.
Aplicando em |T_0\rangle:
P_{12} |T_0\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}\big(P_{12}|\uparrow\downarrow\rangle + P_{12}|\downarrow\uparrow\rangle\big) = \frac{1}{\sqrt{2}}\big(|\downarrow\uparrow\rangle + |\uparrow\downarrow\rangle\big) = +|T_0\rangle.
Portanto |T_0\rangle é simétrico ( P_{12}=+1).
Aplicando em |S\rangle:
P_{12} |S\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}\big(P_{12}|\uparrow\downarrow\rangle - P_{12}|\downarrow\uparrow\rangle\big) = \frac{1}{\sqrt{2}}\big(|\downarrow\uparrow\rangle - |\uparrow\downarrow\rangle\big) = -\frac{1}{\sqrt{2}}\big(|\uparrow\downarrow\rangle - |\downarrow\uparrow\rangle\big) = -|S\rangle.
Portanto |S\rangle é antissimétrico ( P_{12}=-1).
Os outros dois estados do triplete |T_{+1}\rangle e |T_{-1}\rangle são claramente simétricos, pois
P_{12}|\uparrow\uparrow\rangle = |\uparrow\uparrow\rangle,\qquad P_{12}|\downarrow\downarrow\rangle = |\downarrow\downarrow\rangle.

Passo 5

Conclusão técnica a partir dos passos anteriores: das quatro funções independentes de spin para dois elétrons, três são simétricas (os três estados do triplete) e apenas uma é antissimétrica (o singlete). Portanto nem todas as funções de spin são antissimétricas.
Além disso, é útil lembrar (para usar na prova) que elétrons são férmions, então o estado total (espacial \times spin) deve ser antissimétrico sob troca dos dois elétrons. Assim:
  • Se a parte espacial for simétrica, a parte de spin precisa ser antissimétrica (ou seja, o singlete) para garantir a antissimetria total.
  • Se a parte espacial for antissimétrica, a parte de spin pode ser simétrica (um dos estados do triplete).
Um exemplo concreto e simples: se os dois elétrons ocupam o mesmo orbital espacial \varphi(r), a parte espacial é \varphi(r_1)\varphi(r_2) (simétrica), então o único estado de spin permitido é o singlete |S\rangle. Se alguém insistisse que ambos pudessem estar em um estado de spin do triplete com a mesma orbital espacial, isso violaria o princípio de exclusão de Pauli.

Passo 6

Resposta direta à afirmativa do enunciado com justificativa sucinta: a afirmativa é falsa porque existem estados de spin simétricos (os três estados do triplete) e apenas um estado de spin antissimétrico (o singlete). Logo não é verdade que “todas” as funções de spin de dois elétrons sejam antissimétricas.

Resposta

F

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