Responda V (verdadeiro) ou F (falso) e justifique as falsas:
( ) Um determinante de Slater será nulo se colocarmos 2 elétrons em um mesmo spin-orbital.

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Indicar se a sentença é verdadeira (V) ou falsa (F): “( ) Um determinante de Slater será nulo se colocarmos 2 elétrons em um mesmo spin-orbital.”
  • Caso a sentença seja falsa, justificar por que é falsa. (Se for verdadeira, não há justificação de falsa a fazer.)
Informações relevantes dadas:
  • A sentença fala de um determinante de Slater construído a partir de spin-orbitais, e de colocar dois elétrons no mesmo spin-orbital.

Passo 2

O que é um determinante de Slater (fórmula e explicação simples).
  • Para N elétrons, escolhemos N spin-orbitais \{\phi_1,\phi_2,\dots,\phi_N\}. Cada função \phi_j depende das coordenadas espaciais e do spin de um elétron; escrevemos o conjunto de coordenadas do elétron i por x_i.
  • A função de onda de Slater (não normalizada por constantes) é dada por
\Psi(x_1,\dots,x_N)=\frac{1}{\sqrt{N!}} \begin{vmatrix} \phi_1(x_1) & \phi_2(x_1) & \cdots & \phi_N(x_1)\\[4pt] \phi_1(x_2) & \phi_2(x_2) & \cdots & \phi_N(x_2)\\[4pt] \vdots & \vdots & & \vdots\\[4pt] \phi_1(x_N) & \phi_2(x_N) & \cdots & \phi_N(x_N) \end{vmatrix}.
  • Aqui: a linha i corresponde ao elétron com coordenadas x_i; a coluna j corresponde ao spin-orbital \phi_j. O fator \dfrac{1}{\sqrt{N!}} garante normalização quando as \phi_j são ortonormais.]

Passo 3

Propriedade algebraica do determinante usada (explicação didática).
  • Uma propriedade básica de determinantes é: se duas colunas de um determinante são idênticas, então o determinante vale zero. Intuição simples: trocar duas colunas muda o sinal do determinante; mas trocar colunas idênticas não altera a matriz, logo o determinante teria que ser igual ao seu negativo, o que só é possível se for zero.
  • No determinante de Slater as colunas são as funções \phi_j. Se dois spin-orbitais escolhidos forem exatamente iguais (por exemplo \phi_1=\phi_2=\varphi), então as colunas 1 e 2 são idênticas para todo x_i, e portanto o determinante é zero.

Passo 4

Exemplo mínimo e cálculo explícito (passo a passo).
  • Considere o caso de 2 elétrons onde, por hipótese, ambos ocupam o mesmo spin-orbital \varphi. A função de Slater fica
\Psi(x_1,x_2)=\frac{1}{\sqrt{2!}} \begin{vmatrix} \varphi(x_1) & \varphi(x_1)\\[4pt] \varphi(x_2) & \varphi(x_2) \end{vmatrix}.
  • Calcule o determinante de 2\times2:
\begin{vmatrix} \varphi(x_1) & \varphi(x_1)\\[4pt] \varphi(x_2) & \varphi(x_2) \end{vmatrix} = \varphi(x_1)\varphi(x_2)-\varphi(x_1)\varphi(x_2)=0.
  • Portanto \Psi(x_1,x_2)=0 para todo x_1,x_2.]

Passo 5

Interpretação física e conclusão (didática).
  • O resultado matemático acima confirma que, se tentarmos colocar dois elétrons no mesmo spin-orbital dentro de uma construção por determinante de Slater, a função de onda total se anula identicamente.
  • Isso é exatamente a implementação matemática do princípio de exclusão de Pauli: dois férmions idênticos (como elétrons) não podem ocupar o mesmo estado quântico (mesmo spin-orbital) porque a função de onda antissimétrica fica nula.
  • Assim, a sentença do enunciado é correta.

Resposta

V

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