Responda V (verdadeiro) ou F (falso) e justifique as falsas:
( ) Um determinante de Slater será nulo se colocarmos 2 elétrons em um mesmo spin-orbital.
( ) Um determinante de Slater será nulo se colocarmos 2 elétrons em um mesmo spin-orbital.
Passo 1
O que o enunciado pede:
- Indicar se a sentença é verdadeira (V) ou falsa (F): “( ) Um determinante de Slater será nulo se colocarmos 2 elétrons em um mesmo spin-orbital.”
- Caso a sentença seja falsa, justificar por que é falsa. (Se for verdadeira, não há justificação de falsa a fazer.)
Informações relevantes dadas:
- A sentença fala de um determinante de Slater construído a partir de spin-orbitais, e de colocar dois elétrons no mesmo spin-orbital.
Passo 2
O que é um determinante de Slater (fórmula e explicação simples).
- Para
elétrons, escolhemos spin-orbitais . Cada função depende das coordenadas espaciais e do spin de um elétron; escrevemos o conjunto de coordenadas do elétron por . - A função de onda de Slater (não normalizada por constantes) é dada por
- Aqui: a linha
corresponde ao elétron com coordenadas ; a coluna corresponde ao spin-orbital . O fator garante normalização quando as são ortonormais.]
Passo 3
Propriedade algebraica do determinante usada (explicação didática).
- Uma propriedade básica de determinantes é: se duas colunas de um determinante são idênticas, então o determinante vale zero. Intuição simples: trocar duas colunas muda o sinal do determinante; mas trocar colunas idênticas não altera a matriz, logo o determinante teria que ser igual ao seu negativo, o que só é possível se for zero.
- No determinante de Slater as colunas são as funções
. Se dois spin-orbitais escolhidos forem exatamente iguais (por exemplo ), então as colunas 1 e 2 são idênticas para todo , e portanto o determinante é zero.
Passo 4
Exemplo mínimo e cálculo explícito (passo a passo).
- Considere o caso de 2 elétrons onde, por hipótese, ambos ocupam o mesmo spin-orbital
. A função de Slater fica
- Calcule o determinante de
:
- Portanto
para todo .]
Passo 5
Interpretação física e conclusão (didática).
- O resultado matemático acima confirma que, se tentarmos colocar dois elétrons no mesmo spin-orbital dentro de uma construção por determinante de Slater, a função de onda total se anula identicamente.
- Isso é exatamente a implementação matemática do princípio de exclusão de Pauli: dois férmions idênticos (como elétrons) não podem ocupar o mesmo estado quântico (mesmo spin-orbital) porque a função de onda antissimétrica fica nula.
- Assim, a sentença do enunciado é correta.
Resposta
V