Responda se é verdadeira ou falsa a afirmação.
a) ( ) Todo conjunto com vetor nulo é L.D.
b) ( ) Quaisquer dois vetores podem ser representados num plano.
c) ( ) Se \{\vec{u}, \vec{v}\} é L.D., então \{\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}\} é L.I.

Passo 1

O que o enunciado pede: decidir se cada uma das três afirmações é verdadeira ou falsa.
Afirmações a analisar:
  • (a) Todo conjunto com vetor nulo é L.D.
  • (b) Quaisquer dois vetores podem ser representados num plano.
  • (c) Se \{\vec{u}, \vec{v}\} é L.D., então \{\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}\} é L.I.
Informações relevantes dadas: são afirmações gerais sobre vetores e dependência/independência linear; não há outras hipóteses explícitas sobre o espaço vetorial (dimensão, ambientação).

Passo 2

Vou lembrar e explicar a definição de dependência e independência linear — isso é essencial para analisar as três afirmações.
Definição de combinação linear e independência:
  • Uma combinação linear de vetores \vec{v}_1,\vec{v}_2,\dots,\vec{v}_k é uma soma \lambda_1\vec{v}_1+\lambda_2\vec{v}_2+\cdots+\lambda_k\vec{v}_k, onde \lambda_i são escalares.
  • O conjunto \{\vec{v}_1,\dots,\vec{v}_k\} é linearmente dependente (L.D.) se existe uma combinação linear que resulta no vetor zero com pelo menos um coeficiente \lambda_i diferente de zero (ou seja, existe uma combinação não trivial que dá \vec{0}).
  • O conjunto é linearmente independente (L.I.) se a única combinação linear que produz \vec{0} é a combinação trivial, isto é, todos os coeficientes \lambda_i são zero.
Exemplo rápido e intuitivo: se \vec{v}_2=2\vec{v}_1, então \vec{v}_1 e \vec{v}_2 são L.D. porque (-2)\vec{v}_1+1\cdot\vec{v}_2=\vec{0} com coeficientes não todos zero.

Passo 3

Análise da afirmação (a): “Todo conjunto com vetor nulo é L.D.”
Raciocínio passo a passo:
  • Suponha que um conjunto de vetores contém o vetor nulo \vec{0}. Por exemplo, considerei o conjunto S=\{\vec{v}_1,\dots,\vec{v}_k,\vec{0}\}.
  • Considere a combinação linear que coloca coeficiente 1 no \vec{0} e coeficiente 0 em todos os outros vetores: 0\cdot\vec{v}_1+\cdots+0\cdot\vec{v}_k+1\cdot\vec{0}=\vec{0}.
  • Nesta combinação, o coeficiente do \vec{0} é 1, que é diferente de zero, logo há uma combinação não trivial que produz o vetor zero.
  • Pela definição, isso implica que o conjunto é linearmente dependente.
Conclusão para (a): a afirmação é verdadeira. Sempre que um conjunto contém \vec{0}, ele é L.D.

Passo 4

Análise da afirmação (b): “Quaisquer dois vetores podem ser representados num plano.”
Primeiro esclarecimento importante sobre interpretação (porque isso muda a resposta):
  • Se a frase for entendida no sentido geométrico usual em espaços como \mathbb{R}^2 ou \mathbb{R}^3, a ideia é: dados dois vetores posicionados com origem comum, existe sempre um plano que os contenha (no caso de \mathbb{R}^2 o plano já é o próprio espaço; no caso de \mathbb{R}^3 existe um plano passando pela origem que contém ambos).
  • Matematicamente, o subespaço gerado por dois vetores \vec{u} e \vec{v} é \operatorname{span}\{\vec{u},\vec{v}\}. Esse subespaço tem dimensão no máximo 2. Ou seja:
    • Se \vec{u} e \vec{v} são linearmente independentes, \operatorname{span}\{\vec{u},\vec{v}\} é um subespaço de dimensão 2 — isto é, um plano através da origem.
    • Se são linearmente dependentes (colineares), \operatorname{span}\{\vec{u},\vec{v}\} é uma reta (dimensão 1); geometricamente essa reta está contida em infinitos planos (em ambientes de dimensão \ge 2).
  • Portanto, em qualquer espaço vetorial cujo espaço ambiente tenha dimensão pelo menos 2, quaisquer dois vetores sempre pertencem a algum plano (ou geram ele mesmo um plano, ou estão numa reta que é contida em diversos planos).
  • Contudo, se o espaço vetorial ambiente tiver dimensão 1 (por exemplo \mathbb{R} visto como espaço vetorial), não existe plano (subespaço de dimensão 2) dentro desse ambiente, logo a afirmação, tomada em sentido absolutamente universal para “quaisquer dois vetores em qualquer espaço vetorial”, seria falsa — porque em espaços de dimensão 1 não se pode falar em “um plano” dentro do espaço.
Interpretação prática para provas de álgebra linear/geométrica:
  • Normalmente, quando se diz isso sem especificar, o contexto é o espaço euclidiano \mathbb{R}^2 ou \mathbb{R}^3, onde a afirmação é aceita como verdadeira: dois vetores com origem comum sempre ficam em algum plano (em \mathbb{R}^2 o plano é o próprio espaço; em \mathbb{R}^3 o span tem dimensão \le2 e, se for 1, a reta pode ser inserida em vários planos).
Conclusão para (b): a afirmação é verdadeira se o espaço ambiente tiver dimensão ao menos 2 (interpretação usual); portanto, sob a interpretação típica em geometria/álgebra linear (espaços com dimensão \ge2), consideramos a afirmação verdadeira. Se exigir verdade em todo espaço vetorial de qualquer dimensão, é falsa (contraex.: \mathbb{R}). Vou adotar a interpretação típica (espaço com dimensão \ge2) e concluir Verdadeira.

Passo 5

Análise da afirmação (c): “Se \{\vec{u}, \vec{v}\} é L.D., então \{\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}\} é L.I.”
Raciocínio passo a passo:
  • Pelo enunciado, \{\vec{u},\vec{v}\} é linearmente dependente. Pela definição, existem escalares a,b, não ambos zero, tais que a\vec{u}+b\vec{v}=\vec{0}.
  • Considere agora o conjunto maior \{\vec{u},\vec{v},\vec{w}\}. Para provar que esse conjunto é L.I. deveríamos mostrar que toda combinação \alpha\vec{u}+\beta\vec{v}+\gamma\vec{w}=\vec{0}implica \alpha=\beta=\gamma=0.
  • Mas podemos usar a dependência pré-existente: da relação a\vec{u}+b\vec{v}=\vec{0} temos uma combinação não trivial que anula apenas \vec{u} e \vec{v}. Tomando \gamma=0 e escolhendo \alpha=a,\beta=b obtemos a\vec{u}+b\vec{v}+0\cdot\vec{w}=\vec{0},com (\alpha,\beta,\gamma)=(a,b,0) não sendo todos zero porque a e b não são ambos zero.
  • Isso mostra diretamente que existe uma combinação não trivial de \vec{u},\vec{v},\vec{w} que dá \vec{0}. Logo o conjunto \{\vec{u},\vec{v},\vec{w}\} é linearmente dependente, e não independente.
Conclusão para (c): a afirmação é falsa. Um conjunto que contém um subconjunto linearmente dependente também é linearmente dependente.

Resposta

a) Verdadeira
b) Verdadeira
c) Falsa

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