Responda se é verdadeira ou falsa a afirmação.
a) ( ) Todo conjunto com vetor nulo é L.D.
b) ( ) Quaisquer dois vetores podem ser representados num plano.
c) ( ) Se
é L.D., então
é L.I.
a) ( ) Todo conjunto com vetor nulo é L.D.
b) ( ) Quaisquer dois vetores podem ser representados num plano.
c) ( ) Se
Passo 1
O que o enunciado pede: decidir se cada uma das três afirmações é verdadeira ou falsa.
Afirmações a analisar:
- (a) Todo conjunto com vetor nulo é L.D.
- (b) Quaisquer dois vetores podem ser representados num plano.
- (c) Se
é L.D., então é L.I.
Informações relevantes dadas: são afirmações gerais sobre vetores e dependência/independência linear; não há outras hipóteses explícitas sobre o espaço vetorial (dimensão, ambientação).
Passo 2
Vou lembrar e explicar a definição de dependência e independência linear — isso é essencial para analisar as três afirmações.
Definição de combinação linear e independência:
- Uma combinação linear de vetores
é uma soma , onde são escalares. - O conjunto
é linearmente dependente (L.D.) se existe uma combinação linear que resulta no vetor zero com pelo menos um coeficiente diferente de zero (ou seja, existe uma combinação não trivial que dá ). - O conjunto é linearmente independente (L.I.) se a única combinação linear que produz
é a combinação trivial, isto é, todos os coeficientes são zero.
Exemplo rápido e intuitivo: se
, então
e
são L.D. porque
com coeficientes não todos zero.
Passo 3
Análise da afirmação (a): “Todo conjunto com vetor nulo é L.D.”
Raciocínio passo a passo:
- Suponha que um conjunto de vetores contém o vetor nulo
. Por exemplo, considerei o conjunto . - Considere a combinação linear que coloca coeficiente
no e coeficiente em todos os outros vetores: - Nesta combinação, o coeficiente do
é , que é diferente de zero, logo há uma combinação não trivial que produz o vetor zero. - Pela definição, isso implica que o conjunto é linearmente dependente.
Conclusão para (a): a afirmação é verdadeira. Sempre que um conjunto contém
, ele é L.D.
Passo 4
Análise da afirmação (b): “Quaisquer dois vetores podem ser representados num plano.”
Primeiro esclarecimento importante sobre interpretação (porque isso muda a resposta):
- Se a frase for entendida no sentido geométrico usual em espaços como
ou , a ideia é: dados dois vetores posicionados com origem comum, existe sempre um plano que os contenha (no caso de o plano já é o próprio espaço; no caso de existe um plano passando pela origem que contém ambos). - Matematicamente, o subespaço gerado por dois vetores
e é . Esse subespaço tem dimensão no máximo . Ou seja: - Se
e são linearmente independentes, é um subespaço de dimensão — isto é, um plano através da origem. - Se são linearmente dependentes (colineares),
é uma reta (dimensão ); geometricamente essa reta está contida em infinitos planos (em ambientes de dimensão ).
- Se
- Portanto, em qualquer espaço vetorial cujo espaço ambiente tenha dimensão pelo menos
, quaisquer dois vetores sempre pertencem a algum plano (ou geram ele mesmo um plano, ou estão numa reta que é contida em diversos planos). - Contudo, se o espaço vetorial ambiente tiver dimensão
(por exemplo visto como espaço vetorial), não existe plano (subespaço de dimensão ) dentro desse ambiente, logo a afirmação, tomada em sentido absolutamente universal para “quaisquer dois vetores em qualquer espaço vetorial”, seria falsa — porque em espaços de dimensão não se pode falar em “um plano” dentro do espaço.
Interpretação prática para provas de álgebra linear/geométrica:
- Normalmente, quando se diz isso sem especificar, o contexto é o espaço euclidiano
ou , onde a afirmação é aceita como verdadeira: dois vetores com origem comum sempre ficam em algum plano (em o plano é o próprio espaço; em o span tem dimensão e, se for 1, a reta pode ser inserida em vários planos).
Conclusão para (b): a afirmação é verdadeira se o espaço ambiente tiver dimensão ao menos
(interpretação usual); portanto, sob a interpretação típica em geometria/álgebra linear (espaços com dimensão
), consideramos a afirmação verdadeira. Se exigir verdade em todo espaço vetorial de qualquer dimensão, é falsa (contraex.:
). Vou adotar a interpretação típica (espaço com dimensão
) e concluir Verdadeira.
Passo 5
Análise da afirmação (c): “Se
é L.D., então
é L.I.”
Raciocínio passo a passo:
- Pelo enunciado,
é linearmente dependente. Pela definição, existem escalares , não ambos zero, tais que - Considere agora o conjunto maior
. Para provar que esse conjunto é L.I. deveríamos mostrar que toda combinação implica . - Mas podemos usar a dependência pré-existente: da relação
temos uma combinação não trivial que anula apenas e . Tomando e escolhendo obtemos com não sendo todos zero porque e não são ambos zero. - Isso mostra diretamente que existe uma combinação não trivial de
que dá . Logo o conjunto é linearmente dependente, e não independente.
Conclusão para (c): a afirmação é falsa. Um conjunto que contém um subconjunto linearmente dependente também é linearmente dependente.
Resposta
a) Verdadeira
b) Verdadeira
c) Falsa
b) Verdadeira
c) Falsa