Seja \mathrm{E}=\left(\overrightarrow{e_{1}}, \overrightarrow{e_{2}}, \overrightarrow{e_{3}}\right) uma base e seja \mathrm{F}=\left(\overrightarrow{f_{1}}, \overrightarrow{f_{2}}, \overrightarrow{f_{3}}\right) um conjunto ordenado. Temos que \overrightarrow{f_{1}}=2 \overrightarrow{e_{1}}+\overrightarrow{e_{3}}, \overrightarrow{f_{2}}=\overrightarrow{e_{1}}-\overrightarrow{e_{2}} \mathrm{e} \overrightarrow{f_{3}}=n \cdot \overrightarrow{e_{1}}+\overrightarrow{e_{2}}-2 n \cdot \overrightarrow{e_{3}}.
a) Para que valor(es) de n (número real) F é uma base?
b) Nas condições da letra a), F sendo base. Determine o valor de n , sabendo que \overrightarrow{\mathcal{V}} tem coordenadas em F assim (0,0,1)_{\mathrm{F}} e que \overrightarrow{\mathcal{V}}=-\overrightarrow{e_{1}}+\overrightarrow{e_{2}}-2 n \overrightarrow{e_{3}}.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Dados fornecidos (peguei estes vetores do enunciado):
\overrightarrow{f_{3}}=n\cdot\overrightarrow{e_{1}}+\overrightarrow{e_{2}}-2n\cdot\overrightarrow{e_{3}}, com n\in\mathbb{R}.
Perguntas do enunciado:
(a) Para quais valores de n o conjunto \mathrm{F}=(\overrightarrow{f_{1}},\overrightarrow{f_{2}},\overrightarrow{f_{3}}) é uma base?
(b) Nas condições da letra (a) (isto é, supondo \mathrm{F} base), determine n sabendo que \overrightarrow{\mathcal{V}} tem coordenadas em \mathrm{F} iguais a (0,0,1)_{\mathrm{F}} e que \overrightarrow{\mathcal{V}}=-\overrightarrow{e_{1}}+\overrightarrow{e_{2}}-2n\overrightarrow{e_{3}}.
Passo 2
Representar \overrightarrow{f_{1}},\overrightarrow{f_{2}},\overrightarrow{f_{3}} pelas suas coordenadas na base \mathrm{E}. Isso é: escrever cada \overrightarrow{f_{i}} como coluna com coordenadas em relação a (\overrightarrow{e_{1}},\overrightarrow{e_{2}},\overrightarrow{e_{3}}).
\overrightarrow{f_{1}}=2\overrightarrow{e_{1}}+0\overrightarrow{e_{2}}+1\overrightarrow{e_{3}} corresponde à coluna \begin{pmatrix}2\\[2pt]0\\[2pt]1\end{pmatrix}.
\overrightarrow{f_{2}}=1\overrightarrow{e_{1}}-1\overrightarrow{e_{2}}+0\overrightarrow{e_{3}} corresponde à coluna \begin{pmatrix}1\\[2pt]-1\\[2pt]0\end{pmatrix}.
\overrightarrow{f_{3}}=n\overrightarrow{e_{1}}+1\overrightarrow{e_{2}}-2n\overrightarrow{e_{3}} corresponde à coluna \begin{pmatrix}n\\[2pt]1\\[2pt]-2n\end{pmatrix}.
Formo a matriz cujas colunas são essas coordenadas (matriz de passagem de \mathrm{F}-coordenadas para \mathrm{E}-coordenadas):
Explicar por que usar o determinante: num espaço vetorial de dimensão 3, um conjunto de três vetores forma uma base se, e somente se, esses vetores são linearmente independentes (e então geram o espaço). Para verificar independência linear de três vetores dados pelas colunas de uma matriz A, uma forma prática é calcular o determinante \det(A):
Se \det(A)\neq 0 então as colunas são linearmente independentes e, por serem três em \mathbb{R}^3, formam uma base.
Se \det(A)=0 então as colunas são linearmente dependentes e não formam base.
Portanto, precisamos calcular \det(A) e ver para quais n ele é diferente de zero.
Passo 4
Calcular o determinante \det(A) passo a passo, usando expansão pela primeira linha (ou regra de Sarrus — aqui faço expansão):
Portanto o conjunto \mathrm{F} é base para todo n\in\mathbb{R} exceto n=-\tfrac{1}{5}.
Passo 6
Resolver a letra (b). Primeiro interpretar a condição das coordenadas em \mathrm{F}: dizer que \overrightarrow{\mathcal{V}} tem coordenadas (0,0,1)_{\mathrm{F}} significa, por definição de coordenadas em relação a uma base, que
Como \overrightarrow{f_{3}}=n\overrightarrow{e_{1}}+\overrightarrow{e_{2}}-2n\overrightarrow{e_{3}}, igualo \overrightarrow{f_{3}} à expressão dada para \overrightarrow{\mathcal{V}}:
Comparar coordenadas na base \mathrm{E}: as componentes ao longo de \overrightarrow{e_{2}} e \overrightarrow{e_{3}} já coincidem (ambos lados têm coeficiente 1 em \overrightarrow{e_{2}} e -2n em \overrightarrow{e_{3}}). Resta comparar a componente em \overrightarrow{e_{1}}:
n = -1.
Verificar compatibilidade com (a): n=-1 não é igual a -\tfrac{1}{5}, logo está permitido — ou seja, para n=-1 a família \mathrm{F} é base e a condição das coordenadas é satisfeita.