Seja \mathrm{E}=\left(\overrightarrow{e_{1}}, \overrightarrow{e_{2}}, \overrightarrow{e_{3}}\right) uma base e seja \mathrm{F}=\left(\overrightarrow{f_{1}}, \overrightarrow{f_{2}}, \overrightarrow{f_{3}}\right) um conjunto ordenado. Temos que \overrightarrow{f_{1}}=2 \overrightarrow{e_{1}}+\overrightarrow{e_{3}}, \overrightarrow{f_{2}}=\overrightarrow{e_{1}}-\overrightarrow{e_{2}} \mathrm{e} \overrightarrow{f_{3}}=n \cdot \overrightarrow{e_{1}}+\overrightarrow{e_{2}}-2 n \cdot \overrightarrow{e_{3}}.
a) Para que valor(es) de n (número real) F é uma base?
b) Nas condições da letra a), F sendo base. Determine o valor de n , sabendo que \overrightarrow{\mathcal{V}} tem coordenadas em F assim (0,0,1)_{\mathrm{F}} e que \overrightarrow{\mathcal{V}}=-\overrightarrow{e_{1}}+\overrightarrow{e_{2}}-2 n \overrightarrow{e_{3}}.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados fornecidos (peguei estes vetores do enunciado):
    • \overrightarrow{f_{1}}=2\overrightarrow{e_{1}}+\overrightarrow{e_{3}}.
    • \overrightarrow{f_{2}}=\overrightarrow{e_{1}}-\overrightarrow{e_{2}}.
    • \overrightarrow{f_{3}}=n\cdot\overrightarrow{e_{1}}+\overrightarrow{e_{2}}-2n\cdot\overrightarrow{e_{3}}, com n\in\mathbb{R}.
  • Perguntas do enunciado:
    (a) Para quais valores de n o conjunto \mathrm{F}=(\overrightarrow{f_{1}},\overrightarrow{f_{2}},\overrightarrow{f_{3}}) é uma base?
    (b) Nas condições da letra (a) (isto é, supondo \mathrm{F} base), determine n sabendo que \overrightarrow{\mathcal{V}} tem coordenadas em \mathrm{F} iguais a (0,0,1)_{\mathrm{F}} e que \overrightarrow{\mathcal{V}}=-\overrightarrow{e_{1}}+\overrightarrow{e_{2}}-2n\overrightarrow{e_{3}}.

Passo 2

Representar \overrightarrow{f_{1}},\overrightarrow{f_{2}},\overrightarrow{f_{3}} pelas suas coordenadas na base \mathrm{E}. Isso é: escrever cada \overrightarrow{f_{i}} como coluna com coordenadas em relação a (\overrightarrow{e_{1}},\overrightarrow{e_{2}},\overrightarrow{e_{3}}).
  • \overrightarrow{f_{1}}=2\overrightarrow{e_{1}}+0\overrightarrow{e_{2}}+1\overrightarrow{e_{3}} corresponde à coluna \begin{pmatrix}2\\[2pt]0\\[2pt]1\end{pmatrix}.
  • \overrightarrow{f_{2}}=1\overrightarrow{e_{1}}-1\overrightarrow{e_{2}}+0\overrightarrow{e_{3}} corresponde à coluna \begin{pmatrix}1\\[2pt]-1\\[2pt]0\end{pmatrix}.
  • \overrightarrow{f_{3}}=n\overrightarrow{e_{1}}+1\overrightarrow{e_{2}}-2n\overrightarrow{e_{3}} corresponde à coluna \begin{pmatrix}n\\[2pt]1\\[2pt]-2n\end{pmatrix}.
Formo a matriz cujas colunas são essas coordenadas (matriz de passagem de \mathrm{F}-coordenadas para \mathrm{E}-coordenadas):
A=\begin{pmatrix} 2 & 1 & n\\[4pt] 0 & -1 & 1\\[4pt] 1 & 0 & -2n \end{pmatrix}.]

Passo 3

Explicar por que usar o determinante: num espaço vetorial de dimensão 3, um conjunto de três vetores forma uma base se, e somente se, esses vetores são linearmente independentes (e então geram o espaço). Para verificar independência linear de três vetores dados pelas colunas de uma matriz A, uma forma prática é calcular o determinante \det(A):
  • Se \det(A)\neq 0 então as colunas são linearmente independentes e, por serem três em \mathbb{R}^3, formam uma base.
  • Se \det(A)=0 então as colunas são linearmente dependentes e não formam base.
Portanto, precisamos calcular \det(A) e ver para quais n ele é diferente de zero.

Passo 4

Calcular o determinante \det(A) passo a passo, usando expansão pela primeira linha (ou regra de Sarrus — aqui faço expansão):
\det(A)= 2\cdot\det\begin{pmatrix}-1 & 1\\[2pt]0 & -2n\end{pmatrix} -1\cdot\det\begin{pmatrix}0 & 1\\[2pt]1 & -2n\end{pmatrix} +n\cdot\det\begin{pmatrix}0 & -1\\[2pt]1 & 0\end{pmatrix}.
Agora calculo cada menor:
\det\begin{pmatrix}-1 & 1\\[2pt]0 & -2n\end{pmatrix}=(-1)(-2n)-1\cdot0=2n.
\det\begin{pmatrix}0 & 1\\[2pt]1 & -2n\end{pmatrix}=0\cdot(-2n)-1\cdot1=-1.
\det\begin{pmatrix}0 & -1\\[2pt]1 & 0\end{pmatrix}=0\cdot0-(-1)\cdot1=1.
Substituindo:
\det(A)=2\cdot(2n)-1\cdot(-1)+n\cdot 1=4n+1+n=5n+1.]

Passo 5

Concluir a letra (a): \mathrm{F} é base se, e somente se, \det(A)\neq0. Assim
5n+1\neq0 \quad\Longleftrightarrow\quad n\neq -\tfrac{1}{5}.
Portanto o conjunto \mathrm{F} é base para todo n\in\mathbb{R} exceto n=-\tfrac{1}{5}.

Passo 6

Resolver a letra (b). Primeiro interpretar a condição das coordenadas em \mathrm{F}: dizer que \overrightarrow{\mathcal{V}} tem coordenadas (0,0,1)_{\mathrm{F}} significa, por definição de coordenadas em relação a uma base, que
\overrightarrow{\mathcal{V}}=0\cdot\overrightarrow{f_{1}}+0\cdot\overrightarrow{f_{2}}+1\cdot\overrightarrow{f_{3}}=\overrightarrow{f_{3}}.
O enunciado também dá que
\overrightarrow{\mathcal{V}}=-\overrightarrow{e_{1}}+\overrightarrow{e_{2}}-2n\overrightarrow{e_{3}}.
Como \overrightarrow{f_{3}}=n\overrightarrow{e_{1}}+\overrightarrow{e_{2}}-2n\overrightarrow{e_{3}}, igualo \overrightarrow{f_{3}} à expressão dada para \overrightarrow{\mathcal{V}}:
n\overrightarrow{e_{1}}+\overrightarrow{e_{2}}-2n\overrightarrow{e_{3}} \;=\; -\overrightarrow{e_{1}}+\overrightarrow{e_{2}}-2n\overrightarrow{e_{3}}.

Passo 7

Comparar coordenadas na base \mathrm{E}: as componentes ao longo de \overrightarrow{e_{2}} e \overrightarrow{e_{3}} já coincidem (ambos lados têm coeficiente 1 em \overrightarrow{e_{2}} e -2n em \overrightarrow{e_{3}}). Resta comparar a componente em \overrightarrow{e_{1}}:
n = -1.
Verificar compatibilidade com (a): n=-1 não é igual a -\tfrac{1}{5}, logo está permitido — ou seja, para n=-1 a família \mathrm{F} é base e a condição das coordenadas é satisfeita.

Resposta

(a) n\neq -\tfrac{1}{5}
(b) n=-1

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