Responda Verdadeiro ou Falso, justificando a resposta.
Se
então
é contínua em
.
Se
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pergunta se a função
é contínua em
. Para resolver isso, vamos trabalhar com o conceito de continuidade de funções. Precisamos verificar se o limite de
quando
se aproxima de 1 é igual ao valor de
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é continuidade. Uma função é contínua em um ponto se três condições forem satisfeitas:
- A função está definida nesse ponto.
- O limite da função quando
se aproxima desse ponto existe. - O limite é igual ao valor da função nesse ponto.
No nosso caso, já sabemos que
.
Passo 3
Agora, precisamos calcular o limite de
quando
se aproxima de 1. Como a função é definida de forma diferente para
e
, vamos analisar o comportamento quando
se aproxima de 1 por valores menores que 1 (lado esquerdo) e por valores maiores que 1 (lado direito).
Passo 4
Vamos calcular o limite pela esquerda (
se aproximando de 1 por valores menores):
Como
está chegando de valores menores que 1,
é positivo. Então:
Portanto, o limite pela esquerda é 1.
Passo 5
Agora, vamos calcular o limite pela direita (
se aproximando de 1 por valores maiores):
Como
está chegando de valores maiores que 1,
é negativo. Então:
Portanto, o limite pela direita é -1.
Passo 6
Observamos que:
Como os limites pela esquerda e pela direita não são iguais, o limite geral de
quando
se aproxima de 1 não existe.
Passo 7
Para a função ser contínua em
, precisamos que:
Mas já vimos que o limite não existe, o que significa que a função não é contínua nesse ponto.
Resposta
Falso. A função
não é contínua em
porque o limite quando
se aproxima de 1 não existe.