Usando derivadas, encontre os intervalos de crescimento/decrescimento e os máximos e mínimos locais da função y=x+sen 2 x, no intervalo [0,2 pi]. Construa um gráfico para analisar os resultados obtidos.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente usar derivadas para encontrar os intervalos onde a função está crescendo ou decrescendo, e também identificar os pontos de máximo e mínimo local nesse intervalo de . Para isso, vamos precisar entender como calcular derivadas e interpretar os resultados para determinar essas características da função. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada da função y' = dydx = ddx(x) + ddx(sin(2x)) . A derivada nos mostra a taxa de variação da função, ou seja, como ela está mudando em cada ponto.
A derivada de ddx(x) = 1 em relação a ddx(sin(2x)) = 2cos(2x) é:
y' = 1 + 2cos(2x)
Sabemos que:
Então, a derivada completa fica:

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos críticos, ou seja, os valores de 1 + 2cos(2x) = 0 onde a derivada 2cos(2x) = -1 Rightarrow cos(2x) = -12 é igual a zero ou não está definida. Esses pontos podem ser onde a função atinge máximos ou mínimos locais.
Vamos resolver:
2x = 2pi3 Rightarrow x = pi3
Isolando 2x = 4pi3 Rightarrow x = 2pi3 :
2x = 8pi3 Rightarrow x = 4pi3
Agora, precisamos encontrar os valores de 2x = 10pi3 Rightarrow x = 5pi3 no intervalo que satisfazem essa equação. Sabemos que quando e . Então:
Portanto, os pontos críticos são e .

Passo 4

Agora, vamos determinar onde a função está crescendo ou decrescendo. Para isso, analisamos o sinal da derivada y' = 1 + 2cos(pi3) = 1 + 2(12) = 2 (> 0) em cada intervalo definido pelos pontos críticos.
Vamos dividir o intervalo y' = 1 + 2cos(2pi) = 1 + 2(1) = 3 (> 0) nos seguintes subintervalos:
  1. y' = 1 + 2cos(2pi) = 1 + 2(1) = 3 (> 0)
  2. y' = 1 + 2cos(3pi) = 1 + 2(-1) = -1 (< 0)
  3. y' = 1 + 2cos(11pi3) = 1 + 2(12) = 2 (> 0)
Escolhemos um valor de teste em cada intervalo e substituímos na derivada :
  1. Para :
Crescendo.
  1. Para :
Crescendo.
  1. Para :
Crescendo.
  1. Para :
Decrescendo.
  1. Para :
Crescendo.

Passo 5

Com base nos sinais da derivada, podemos identificar os intervalos de crescimento e decrescimento, além dos pontos onde ocorrem máximos e mínimos locais.
  • Crescendo em:
  • Decrescendo em:
Nos pontos críticos onde a função muda de crescente para decrescente, temos máximos locais, e onde muda de decrescente para crescente, temos mínimos locais.
Portanto:
  • Máximos locais em e .
  • Mínimos locais em e .

Passo 6

Para visualizar tudo isso, vamos construir um gráfico da função no intervalo . O gráfico vai mostrar onde a função está subindo ou descendo e marcará claramente os pontos de máximo e mínimo que encontramos.
(Aqui, você desenharia o gráfico com os intervalos destacados e os pontos de máximo e mínimo marcados.)

Resposta

A função no intervalo está:
  • Crescente em , e .
  • Decrescente em e .
Os pontos de máximo local ocorrem em e , e os pontos de mínimo local ocorrem em e .

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