Usando derivadas, encontre os intervalos de crescimento/decrescimento e os máximos e mínimos locais da função
, no intervalo
. Construa um gráfico para analisar os resultados obtidos.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente usar derivadas para encontrar os intervalos onde a função
está crescendo ou decrescendo, e também identificar os pontos de máximo e mínimo local nesse intervalo de
. Para isso, vamos precisar entender como calcular derivadas e interpretar os resultados para determinar essas características da função. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada da função
. A derivada nos mostra a taxa de variação da função, ou seja, como ela está mudando em cada ponto.
A derivada de
em relação a
é:
Sabemos que:
Então, a derivada completa fica:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos críticos, ou seja, os valores de
onde a derivada
é igual a zero ou não está definida. Esses pontos podem ser onde a função atinge máximos ou mínimos locais.
Vamos resolver:
Isolando
:
Agora, precisamos encontrar os valores de
no intervalo
que satisfazem essa equação. Sabemos que
quando
e
. Então:
Portanto, os pontos críticos são
e
.
Passo 4
Agora, vamos determinar onde a função está crescendo ou decrescendo. Para isso, analisamos o sinal da derivada
em cada intervalo definido pelos pontos críticos.
Vamos dividir o intervalo
nos seguintes subintervalos:
Escolhemos um valor de teste em cada intervalo e substituímos na derivada
:
- Para
:
Crescendo.
- Para
:
Crescendo.
- Para
:
Crescendo.
- Para
:
Decrescendo.
- Para
:
Crescendo.
Passo 5
Com base nos sinais da derivada, podemos identificar os intervalos de crescimento e decrescimento, além dos pontos onde ocorrem máximos e mínimos locais.
-
Crescendo em:
-
-
Decrescendo em:
-
Nos pontos críticos onde a função muda de crescente para decrescente, temos máximos locais, e onde muda de decrescente para crescente, temos mínimos locais.
Portanto:
- Máximos locais em
e . - Mínimos locais em
e .
Passo 6
Para visualizar tudo isso, vamos construir um gráfico da função
no intervalo
. O gráfico vai mostrar onde a função está subindo ou descendo e marcará claramente os pontos de máximo e mínimo que encontramos.
(Aqui, você desenharia o gráfico com os intervalos destacados e os pontos de máximo e mínimo marcados.)
Resposta
A função
no intervalo
está:
- Crescente em
, e . - Decrescente em
e .
Os pontos de máximo local ocorrem em
e
, e os pontos de mínimo local ocorrem em
e
.