Responda Verdadeiro ou Falso, justificando a resposta.
A equação
não possui raiz real.
A equação
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício que a gente tem aqui pede para responder se a afirmação “A equação
não possui raiz real” é verdadeira ou falsa. A matéria que vamos usar aqui envolve funções trigonométricas inversas, especificamente a função arco-tangente, e um pouquinho de análise para verificar se existe ou não um valor de
que satisfaz essa equação.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma raiz real para essa equação. Uma raiz real é um valor de
que, quando substituído na equação, a torna verdadeira. Então, precisamos verificar se existe algum número real
que faça com que
.
Passo 3
Vamos considerar a função
. Se conseguirmos mostrar que há algum valor de
para o qual
, então a equação original tem uma raiz real.
Passo 4
A função arco-tangente,
, tem algumas propriedades importantes:
- Ela está definida para todos os números reais
. - Seu intervalo de valores está entre
e . - É uma função crescente, ou seja, conforme
aumenta, também aumenta.
Passo 5
Analisando a função
:
- Quando
tende para , tende para e tende para , então tende para . - Quando
tende para , tende para e tende para , então tende para .
Passo 6
Sabendo que
é uma função contínua (já que tanto
quanto
são funções contínuas) e que passa de
a
, pelo Teorema do Valor Intermediário, existe pelo menos um valor de
onde
. Isso significa que a equação
tem pelo menos uma raiz real.
Resposta
Falso. A equação
possui pelo menos uma raiz real.