Responda Verdadeiro ou Falso, justificando a resposta.
A equação arc tg(x)=1-x não possui raiz real.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício que a gente tem aqui pede para responder se a afirmação “A equação arctan(x) = 1 - x não possui raiz real” é verdadeira ou falsa. A matéria que vamos usar aqui envolve funções trigonométricas inversas, especificamente a função arco-tangente, e um pouquinho de análise para verificar se existe ou não um valor de que satisfaz essa equação.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma raiz real para essa equação. Uma raiz real é um valor de que, quando substituído na equação, a torna verdadeira. Então, precisamos verificar se existe algum número real que faça com que .

Passo 3

Vamos considerar a função . Se conseguirmos mostrar que há algum valor de para o qual , então a equação original tem uma raiz real.

Passo 4

A função arco-tangente, , tem algumas propriedades importantes:
  • Ela está definida para todos os números reais .
  • Seu intervalo de valores está entre e .
  • É uma função crescente, ou seja, conforme aumenta, também aumenta.

Passo 5

Analisando a função :
  • Quando tende para , tende para e tende para , então tende para .
  • Quando tende para , tende para e tende para , então tende para .

Passo 6

Sabendo que é uma função contínua (já que tanto quanto são funções contínuas) e que passa de a , pelo Teorema do Valor Intermediário, existe pelo menos um valor de onde . Isso significa que a equação tem pelo menos uma raiz real.

Resposta

Falso. A equação arctan(x) = 1 - x possui pelo menos uma raiz real.

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