Responda verdadeiro ou falso e justifique sua resposta em no máximo:
Se U e T são operadores lineares invertíveis em \mathcal{L}\left(\mathbb{R}^{7}\right), então U T é invertível.
Se U é um operador linear em \mathcal{L}\left(\mathbb{R}^{7}\right) e a nulidade de U é ímpar, então o determinante de U também é ímpar.

Passo 1

Resumindo, temos duas afirmações sobre operadores em \mathcal{L}(\mathbb{R}^{7}):
(i) se U e T são invertíveis então UT é invertível;
(ii) se a nulidade de U é ímpar então \det(U) é ímpar.

Passo 2

Para (i), a composição de aplicações lineares invertíveis é sempre invertível. Mais precisamente, se existem U^{-1} e T^{-1}, então
(UT)^{-1}=T^{-1}U^{-1}.
Logo a afirmação (i) é verdadeira.

Passo 3

Para (ii), a nulidade de U é a dimensão do seu núcleo. Se essa nulidade é \ge1 (ímpar), então U não é injetora e, por consequência, \det(U)=0. Como 0 é par, a afirmação (ii) é falsa.

Resposta

(a) Verdadeiro.
(b) Falso.

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