Responda verdadeiro ou falso e justifique sua resposta em no máximo:
Se
e
são operadores lineares invertíveis em
, então
é invertível.
Se
é um operador linear em
e a nulidade de
é ímpar, então o determinante de
também é ímpar.
Se
Se
Passo 1
Resumindo, temos duas afirmações sobre operadores em
:
(i) se e
são invertíveis então
é invertível;
(ii) se a nulidade de é ímpar então
é ímpar.
(i) se
(ii) se a nulidade de
Passo 2
Para (i), a composição de aplicações lineares invertíveis é sempre invertível. Mais precisamente, se existem
e
, então
Logo a afirmação (i) é verdadeira.
Passo 3
Para (ii), a nulidade de
é a dimensão do seu núcleo. Se essa nulidade é
(ímpar), então
não é injetora e, por consequência,
. Como
é par, a afirmação (ii) é falsa.
Resposta
(a) Verdadeiro.
(b) Falso.
(b) Falso.