Verifique se as funções T: V \longrightarrow V são transformações lineares. Caso afirmativo, determine o posto, a nulidade de T. Caso negativo dê contra-exemplo ou justifique. A justificativa deve ter no máximo 2 linhas.
V=\mathbb{R}^{3}, \bar{V}=M_{2 * 2}, T(x, y, z)=\left(\begin{array}{cc}x & z \\\\ 0 & 2 x\end{array}\right);

Passo 1

O enunciado define uma aplicação T\colon V\to \bar V com V=\mathbb{R}^3 e \bar V=M_{2\times2}, dada por
T(x,y,z)=\begin{pmatrix}x & z\\[6pt]0 & 2x\end{pmatrix}.
Precisamos verificar se T é linear e, se for, calcular o posto (dimensão da imagem) e a nulidade (dimensão do núcleo) de T, usando conceitos de transformações lineares, núcleo, imagem e o teorema do posto-nulidade.]

Passo 2

Para testar linearidade, tomamos (x_1,y_1,z_1) e (x_2,y_2,z_2) em \mathbb{R}^3 e escalar \lambda. Então
T((x_1,y_1,z_1)+(x_2,y_2,z_2)) =\begin{pmatrix}x_1+x_2 & z_1+z_2\\\ 0 & 2(x_1+x_2)\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}x_1 & z_1\\\ 0 & 2x_1\end{pmatrix}+ \begin{pmatrix}x_2 & z_2\\\ 0 & 2x_2\end{pmatrix} =T(x_1,y_1,z_1)+T(x_2,y_2,z_2),
T\bigl(\lambda(x,y,z)\bigr) =\begin{pmatrix}\lambda x & \lambda z\\\ 0 &2\lambda x\end{pmatrix} =\lambda\begin{pmatrix}x & z\\\ 0 &2x\end{pmatrix} =\lambda\,T(x,y,z).
Logo, T é linear.

Passo 3

Para achar o núcleo, resolvemos T(x,y,z)=0:
\begin{pmatrix}x & z\\\ 0 &2x\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&0\\\ 0&0\end{pmatrix} \implies x=0,\;z=0,\;y\\ \text{livre}.
Assim \ker T=\{(0,y,0)\mid y\in\mathbb{R}\} e \dim\ker T=1. Portanto nulidade (T)=1.

Passo 4

A imagem de T é
\Im T=\Bigl\{\begin{pmatrix}x&z\\\ 0&2x\end{pmatrix}:x,z\in\mathbb{R}\Bigr\} =\text{span}\Bigl\{\begin{pmatrix}1&0\\\ 0&2\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0&1\\\ 0&0\end{pmatrix}\Bigr\}.
Esses dois geradores são linearmente independentes, logo \dim\Im T=2. Assim posto (T)=2.

Resposta

T é linear, \text{posto}(T)=2 e \text{nulidade}(T)=1.

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