Verifique se as funções T: V \longrightarrow V são transformações lineares. Caso afirmativo, determine o posto, a nulidade de T. Caso negativo dê contra-exemplo ou justifique. A justificativa deve ter no máximo 2 linhas. V=\mathbb{R}^{3}, \bar{V}=M_{2 * 2}, T(x, y, z)=\left(\begin{array}{cc}x & z \\\\ 0 & 2 x\end{array}\right);
Passo 1
O enunciado define uma aplicação T\colon V\to \bar V com V=\mathbb{R}^3 e \bar V=M_{2\times2}, dada por
Precisamos verificar se T é linear e, se for, calcular o posto (dimensão da imagem) e a nulidade (dimensão do núcleo) de T, usando conceitos de transformações lineares, núcleo, imagem e o teorema do posto-nulidade.]
Passo 2
Para testar linearidade, tomamos (x_1,y_1,z_1) e (x_2,y_2,z_2) em \mathbb{R}^3 e escalar \lambda. Então