Verifique se as funções T: V \longrightarrow \tilde{V} são transformações lineares. Caso afirmativo, determine o posto, a nulidade de T. Caso negativo dê contra-exemplo ou justifique. A justificativa deve ter no máximo 2 linhas.
V=\mathcal{M}_{8 \times 8}, \tilde{V}=\mathcal{M}_{8 \times 8}, T(A)=A-2 A^{T};

Passo 1

O enunciado define V=\mathcal{M}_{8\times8} e a aplicação
T\colon V\to V,\qquad T(A)=A-2A^{T}.
O que se pede é (i) verificar se T é transformação linear e, em caso positivo, (ii) determinar \dim\ker T (nulidade) e \operatorname{rank}T. Para isso usaremos a definição de linearidade, o cálculo do núcleo e o teorema do posto–nulidade.

Passo 2

Verificamos linearidade de T tomando escalares \alpha,\beta e matrizes A,B\in V:
T(\alpha A+\beta B) =(\alpha A+\beta B)-2(\alpha A+\beta B)^{T} =\alpha(A-2A^{T})+\beta(B-2B^{T}) =\alpha\,T(A)+\beta\,T(B).
Logo, T é linear.

Passo 3

Para achar \ker T, resolvemos T(A)=0:
A-2A^{T}=0 \quad\Longrightarrow\quad A=2A^{T}.
Transpondo essa igualdade vem
A^{T}=2A
e substituindo de volta obtemos
A=2A^{T}=2(2A)=4A \quad\Longrightarrow\quad 3A=0 \quad\Longrightarrow\quad A=0.
Assim \ker T=\{0\} e \nul T=\dim\ker T=0.

Passo 4

Como \dim V=8\times8=64, pelo teorema do posto–nulidade
\operatorname{rank}T+\nul T=\dim V \quad\Longrightarrow\quad \operatorname{rank}T=64-0=64.

Resposta

T é linear. \operatorname{rank}T=64. \nul T=0.

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