Sejam T \in \mathcal{L}\left(\mathbb{R}^{2}\right) com T(x, y)=(x-y, 2 y) e G=\{(1,-1),(0,1)\}.
Determine [T]_{G}, a representação matricial do operador T na base G;
Determine T^{-1}(2,1).

Passo 1

O enunciado define a transformação linear T\colon\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 por
T(x,y)=(x-y,\;2y)
e a base G=\{v_1,v_2\} com v_1=(1,-1) e v_2=(0,1).
Precisamos (i) achar a matriz de T em relação à base G e (ii) resolver T(x,y)=(2,1) para obter T^{-1}(2,1).

Passo 2

Calculo T(v_1)\). Como \(v_1=(1,-1)\), \[T(1,-1)=(1-(-1),\;2\cdot(-1))=(2,\,-2).
Agora expresso (2,-2) na base G, buscando escalares a,b tais que
a\,(1,-1)+b\,(0,1)=(2,-2).
Isso dá o sistema
\begin{cases} a = 2,\\\\ -\,a + b = -2. \end{cases}
Da primeira equação a=2\]; da segunda \(-2 + b=-2 leva a b=0.
Logo, as coordenadas de T(v_1) em G são \bigl[\,T(v_1)\bigr]_G=(2,0)^T. Esse será a primeira coluna de [T]_G.

Passo 3

Calculo T(v_2)\). Como \(v_2=(0,1)\), \[T(0,1)=(0-1,\;2\cdot1)=(-1,2).
Procuramos c,d tais que
c\,(1,-1)+d\,(0,1)=(-1,2),
isto é,
\begin{cases} c = -1,\\\\ -\,c + d = 2. \end{cases}
Da primeira equação c=-1\]; da segunda \(1 + d = 2 leva a d=1.
Logo, \bigl[\,T(v_2)\bigr]_G=(-1,1)^T, que é a segunda coluna de [T]_G.

Passo 4

Concluímos que a matriz de T na base G é
[T]_G = \begin{pmatrix} 2 & -1\\\\ 0 & 1 \end{pmatrix}.

Passo 5

Para achar T^{-1}(2,1)\), resolvo o sistema \[T(x,y)=(x-y,\;2y)=(2,1).
Isso equivale a
\begin{cases} x - y = 2,\\\\ 2y = 1. \end{cases}
Da segunda equação y=\tfrac12\]. Substituindo na primeira vem \(x - \tfrac12 = 2, logo x = \tfrac52.

Resposta

A matriz de T na base G é
[T]_G = \begin{pmatrix} 2 & -1\\\\ 0 & 1 \end{pmatrix},
e
T^{-1}(2,1) = \Bigl(\tfrac52,\;\tfrac12\Bigr).

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