Sejam T \in \mathcal{L}\left(\mathbb{R}^{2}\right) com T(x, y)=(x-y, 2 y) e G=\{(1,-1),(0,1)\}.
Determine [T]_{G}, a representação matricial do operador T na base G;
Determine T^{-1}(2,1).
Passo 1
O enunciado define a transformação linear T\colon\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 por
T(x,y)=(x-y,\;2y)
e a base G=\{v_1,v_2\} com v_1=(1,-1) e v_2=(0,1).
Precisamos (i) achar a matriz de T em relação à base G e (ii) resolver T(x,y)=(2,1) para obter T^{-1}(2,1).
Passo 2
Calculo T(v_1)\). Como \(v_1=(1,-1)\),
\[T(1,-1)=(1-(-1),\;2\cdot(-1))=(2,\,-2).
Agora expresso (2,-2) na base G, buscando escalares a,b tais que
a\,(1,-1)+b\,(0,1)=(2,-2).
Isso dá o sistema
\begin{cases} a = 2,\\\\ -\,a + b = -2. \end{cases}
Da primeira equação a=2\]; da segunda \(-2 + b=-2 leva a b=0.
Logo, as coordenadas de T(v_1) em G são \bigl[\,T(v_1)\bigr]_G=(2,0)^T. Esse será a primeira coluna de [T]_G.
Passo 3
Calculo T(v_2)\). Como \(v_2=(0,1)\),
\[T(0,1)=(0-1,\;2\cdot1)=(-1,2).
Procuramos c,d tais que
c\,(1,-1)+d\,(0,1)=(-1,2),
isto é,
\begin{cases} c = -1,\\\\ -\,c + d = 2. \end{cases}
Da primeira equação c=-1\]; da segunda \(1 + d = 2 leva a d=1.
Logo, \bigl[\,T(v_2)\bigr]_G=(-1,1)^T, que é a segunda coluna de [T]_G.