Responda verdadeiro, e justifique, ou falsoe forneça um contraexemplo:
  • (0,6 pts) Toda função periódica possui uma série de de Fourier.

Passo 1

O enunciado pergunta se “toda função periódica possui série de Fourier”. O conteúdo envolve condições de existência de série de Fourier para funções periódicas, e precisamos lembrar quais hipóteses mínimas são exigidas para definir os coeficientes e garantir a representação.

Passo 2

Pela teoria de séries de Fourier, para que uma função periódica de período 2 pi admita série de Fourier, é necessário que ela seja, no mínimo, integrável em um período (ou seja, pertença a L¹[– pi, pi]). Se a integral do valor absoluto diverge, não podemos calcular os coeficientes.

Passo 3

Contraexemplo: seja a função definida por f(x)=1x em (pi,pi), estendida com período 2 pi. Tem-se
integral-pi^pi|1x|,dx=2integral0^pi1x,dx=+infty,

Passo 4

logo fnotin L^1[-pi,pi] e os coeficientes de Fourier ficam indefinidos.

Passo 5

Como existe pelo menos essa função periódica sem série de Fourier, concluímos que a afirmação é falsa.

Resposta

A afirmação é falsa. Um contraexemplo é f(x)=1/x em (–π,π) estendida periodicamente de período 2π, pois não é integrável e, portanto, não admite série de Fourier.

Exercícios relacionados