Responda verdadeiro, e justifique, ou falsoe forneça um contraexemplo:
Toda função periódica possui uma série de de Fourier.
Passo 1
O enunciado pergunta se “toda função periódica possui série de Fourier”. O conteúdo envolve condições de existência de série de Fourier para funções periódicas, e precisamos lembrar quais hipóteses mínimas são exigidas para definir os coeficientes e garantir a representação.
Passo 2
Pela teoria de séries de Fourier, para que uma função periódica de período 2 admita série de Fourier, é necessário que ela seja, no mínimo, integrável em um período (ou seja, pertença a L¹[–,]). Se a integral do valor absoluto diverge, não podemos calcular os coeficientes.
Passo 3
Contraexemplo: seja a função definida por em , estendida com período 2. Tem-se
Passo 4
logo fnotin L^1[-pi,pi] e os coeficientes de Fourier ficam indefinidos.
Passo 5
Como existe pelo menos essa função periódica sem série de Fourier, concluímos que a afirmação é falsa.
Resposta
A afirmação é falsa. Um contraexemplo é f(x)=1/x em (–π,π) estendida periodicamente de período 2π, pois não é integrável e, portanto, não admite série de Fourier.