Dada a equação, utilize o método de separação de variáveis para encontrar o sistema de equações diferenciais ordinárias:
(1,0 pts) Ux+Uy=(x+y) U

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me mandou uma equação diferencial parcial e quer resolver usando o método de separação de variáveis. Basicamente, a gente vai transformar essa equação em um sistema de equações diferenciais ordinárias (EDOs). Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre equações diferenciais parciais e o método de características, que é uma das formas de separar as variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada na equação que você passou:
Ux + Uy = (x + y) U
Aqui, U é uma função de duas variáveis, x e y, e Ux e Uy representam as derivadas parciais de U em relação a x e y, respectivamente.

Passo 3

O método de separação de variáveis, ou método das características, ajuda a transformar uma equação diferencial parcial em um sistema de equações diferenciais ordinárias (EDOs). Para isso, a gente iguala as derivadas orbitando uma variável auxiliar, geralmente t. A ideia é encontrar curvas no plano (x, y) onde a solução U se comporta de maneira mais simples.

Passo 4

Vamos montar as equações características. A equação dada é:
Ux + Uy = (x + y) U
Podemos escrever isso na forma:
dx1 = dy1 = dU(x + y)U
Aqui, igualamos cada derivada a uma “taxa” comum, que podemos chamar de dt, uma variável auxiliar.

Passo 5

Agora, vamos separar cada parte da igualdade e escrever as EDOs individuais:
  1. Para x:
dxdt = 1
  1. Para y:
dydt = 1
  1. Para U:
dUdt = (x + y) U
Essas são as equações diferenciais ordinárias que precisamos resolver.

Resposta

O sistema de equações diferenciais ordinárias é:
dxdt = 1
dydt = 1
dUdt = (x + y) U

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