Respondas as seguintes sentenças:
Se X tem distribuição Fm,n, mostre que 1 / X tem distribuição Fn,m.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o enunciado pede. A questão fala de uma variável aleatória que tem distribuição (ou seja, F de Fisher com e graus de liberdade) e quer que a gente prove que a variável segue a distribuição .
Conteúdo: transformação de variáveis em densidades contínuas (mudança de variável).
O que vamos precisar:
  • A fórmula da densidade de .
  • A técnica de “change of variables” para encontrar a densidade de .

Passo 2

Primeiro, a densidade de fX(x) ;=; raizl(tfracm,xnr)^m,l(1+tfracm,xnr)^-(m+n)x,Bl(tfrac m2,tfrac n2r) para x>0, é
onde é a função Beta. Esse passo usamos a definição padrão da densidade F.

Passo 3

Agora, definimos fY(y) ;=; fX!l(g^-1(y)r),l|ddyl(g^-1(y)r)r| . Queremos ddy(1/y) = -1y^2, logo l|tfracddy(1/y)r| = 1y^2 . Pela fórmula de mudança de variável, se e , então
Aqui , então e

Passo 4

Substituindo na fórmula:
fY(y) = fX!l(1/yr),1y^2 = raizl(tfracm,(1/y)nr)^m,l(1+tfracm,(1/y)nr)^-(m+n)(1/y),B(tfrac m2,tfrac n2);1y^2
Agora só simplificar:
  1. O termo fY(y) = raizl(tfracn,ymr)^n,l(1+tfracn,ymr)^-(n+m)y,Bl(tfrac n2,tfrac m2r) para y>0, no denominador multiplica com o e vira .
  2. Dentro das potências, .
  3. Reescrevendo tudo dá exatamente a forma
que é a densidade de .

Resposta

Portanto, tem distribuição .

Exercícios relacionados