Seja X1, X2 uma amostra aleatória da densidade
f(x)=(1 / 2) exp -x / 2 I(0, infty)(x)
Use resultados relacionados as distribuições Qui-Quadrado e F para obter a distribuição de X1 / X2.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que f(x)=tfrac12 e^-x/2I(0,infty)(x) e vêm da densidade
O que queremos é a lei de .
O conteúdo que vamos usar é:
  1. Reconhecer que essa densidade é a de uma com 2 graus de liberdade.
  2. Saber que a razão de duas divididas pelos seus graus de liberdade é uma .

Passo 2

Primeiro, mostrar que cada f(z)=12^nu/2,Gamma(nu/2),z^nu/2-1e^-z/2, z>0 é f(z) =12^1,Gamma(1),z^0e^-z/2 =12,e^-z/2, . Lembra que a densidade de X1simchi^22 e X2simchi^22, é
Se colocamos , isso vira
porque . Isso bate exatamente com nossa . Logo
independentes.

Passo 3

Agora a teoria do U/nu1V/nu2;sim;F(nu1,nu2) : se e independentes, então
No nosso caso .

Passo 4

Aplicando ao X1/2X2/2 ;sim;F(2,2) :
Perceba que . Então concluímos que

Resposta

boxedX1/X2 sim F(2,2)

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