Seja X1, X2 uma amostra aleatória da N(0,1). Usando resultados vistos em aula, determine a distribuição de:
1 / Z, onde Z=X1^2X2^2.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz o seguinte: temos duas variáveis aleatórias independentes
Z = X1^2X2^2 . Definimos
e queremos achar a distribuição de .
Conteúdo da matéria: distribuições qui‐quadrado e F de Fisher, além da propriedade do recíproco de uma .
O que vamos usar:
  1. Se , então .
  2. Se e são independentes, então
  3. Se , então .

Passo 2

Primeiro, identifiquemos as distribuições de X1^2simchi^21 e X2^2simchi^21, e .
Teoria (chi-quadrado): se , a variável tem distribuição com 1 grau de liberdade.
Logo:
e são independentes porque e são independentes.

Passo 3

Agora a gente usa o resultado chave de F de Fisher:
Se U/mV/n sim F(m,n) e Z = X1^2X2^2 =X1^2/1X2^2/1 sim F(1,1) indep., então
No nosso caso, , e .
Portanto

Passo 4

Falta só ver o recíproco. Tem uma propriedade bacana:
Se 1Wsim F(n,m) , então
Aqui , então invertendo a a gente continua com .

Resposta

boxed1/Z sim F(1,1)

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