Respondas as seguintes sentenças:
Se X tem distribuição tk, mostre que X^2 tem distribuição F1,k. Qual é a distribuição de (1 / X)^2 ?

Passo 1

Beleza, aqui o enunciado pede: se Xsim tk (t de Student com k graus de liberdade), mostre que X^2sim F1,k e, em seguida, ache a distribuição de (1/X)^2.
Conteúdo: definição de t de Student, de qui-quadrado e de F de Fisher. Vamos usar que
  1. Se Zsim N(0,1) e Wsimchi^2k independentes, então X = ZraizW/k sim tk
    2. A distribuição Fm,n é a razão
    F = U/mV/n,onde Usimchi^2m e Vsimchi^2n independentes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar direitinho o que é Xsim tk. Por definição:
  • Zsim N(0,1) (normal padrão)
  • Wsimchi^2k (qui-quadrado com k graus de liberdade)
  • Z e W são independentes.
X = ZraizW/k,
Isso significa que $X^{2} = \frac{Z^{2}}{W/k},. $

Passo 3

Agora, note que
X^2 ;=; Z^2/1(W/k),
Mas Z^2simchi^21 (porque o quadrado de normal padrão é qui-quadrado com 1 grau de liberdade). Logo temos uma razão da forma
U/1V/k, Usimchi^21,;Vsimchi^2k,
que é justamente a definição de F1,k.
Portanto
X^2sim F1,k

Passo 4

Pra (1/X)^2, basta inverter a fração que apareceu em X^2:
(1/X)^2 = 1X^2 = W/kZ^2/1,
Como dissemos, Wsimchi^2k e Z^2simchi^21, independentes. Então é a razão
V/kU/1, Vsimchi^2k,;Usimchi^21,
que é exatamente Fk,1.

Resposta

X² tem distribuição F1,k, e (1/X)^2 tem distribuição Fk,1,.

Exercícios relacionados