Calcule os limites, caso existam:
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
Informações dadas:
- O numerador é o polinômio
. - O denominador é o polinômio
. - A variável
tende para .
O objetivo é determinar se esse limite existe e, em caso afirmativo, qual é o seu valor.
Passo 2
Ideia principal (explicação didática, sem pular etapas).
Para limites de funções racionais (quociente de polinômios) quando , o comportamento é dominado pelos termos de maior grau nos polinômios. Três casos comuns:
Para limites de funções racionais (quociente de polinômios) quando
- Se o grau do numerador for menor que o do denominador, o limite é
. - Se os graus forem iguais, o limite é a razão dos coeficientes líderes.
- Se o grau do numerador for maior que o do denominador, o limite tende para
; o sinal depende dos coeficientes líderes e do comportamento para .
Aqui o grau do numerador é
e o do denominador é
, então esperamos que o quociente cresça sem limite (tenda a infinito). Vou fazer uma conta algébrica explícita para mostrar isso de forma rigorosa e clara.
Passo 3
Fatorar (ou dividir) por uma potência de
para expor os termos que tendem a zero. Uma escolha prática é dividir numerador e denominador por
(o maior expoente do denominador), assim todos os termos ficam com potências não positivas:
Passo 4
Analisar o comportamento dos termos pequenos quando
.
- Para qualquer positivo
temos quando .
Logo
Portanto, ao passar para o limite na expressão do Passo 3, os termos fracionários desaparecem.
Passo 5
Concluir o comportamento do numerador e do denominador separadamente.
- O denominador da expressão do Passo 3 tende para
, pois . - O numerador da expressão do Passo 3 é
. Como e tendem para , o comportamento do numerador é dominado por . Para temos , logo o numerador tende para .
Passo 6
Usar um resultado simples de limites: se
e
com
finito, então
conforme o sinal de
. Aqui
(o numerador) tende para
e
(o denominador) tende para
. Portanto o quociente tende para
.
Também é possível ver diretamente a forma assintótica:
e
. Ambas as razões chegam à mesma conclusão.
Passo 7
Interpretação do sinal (confirmação): para
muito grande e positivo,
é positivo (pois o termo
domina) e
também é positivo (pois
domina), então o quociente é positivo e cresce sem limite. Logo o limite é
.