Calcule os limites, caso existam:
\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{3 x^{5}+2 x-8}{x^{4}-2}

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{3x^{5}+2x-8}{x^{4}-2}.
Informações dadas:
  • O numerador é o polinômio 3x^{5}+2x-8.
  • O denominador é o polinômio x^{4}-2.
  • A variável x tende para +\infty.
    O objetivo é determinar se esse limite existe e, em caso afirmativo, qual é o seu valor.

Passo 2

Ideia principal (explicação didática, sem pular etapas).
Para limites de funções racionais (quociente de polinômios) quando x\to\pm\infty, o comportamento é dominado pelos termos de maior grau nos polinômios. Três casos comuns:
  • Se o grau do numerador for menor que o do denominador, o limite é 0.
  • Se os graus forem iguais, o limite é a razão dos coeficientes líderes.
  • Se o grau do numerador for maior que o do denominador, o limite tende para \pm\infty; o sinal depende dos coeficientes líderes e do comportamento para x\to\pm\infty.
Aqui o grau do numerador é 5 e o do denominador é 4, então esperamos que o quociente cresça sem limite (tenda a infinito). Vou fazer uma conta algébrica explícita para mostrar isso de forma rigorosa e clara.

Passo 3

Fatorar (ou dividir) por uma potência de x para expor os termos que tendem a zero. Uma escolha prática é dividir numerador e denominador por x^{4} (o maior expoente do denominador), assim todos os termos ficam com potências não positivas:
\frac{3x^{5}+2x-8}{x^{4}-2} = \frac{3x^{5}/x^{4} + (2x)/x^{4} - 8/x^{4}}{x^{4}/x^{4} - 2/x^{4}} = \frac{3x + \dfrac{2}{x^{3}} - \dfrac{8}{x^{4}}}{1 - \dfrac{2}{x^{4}}}.

Passo 4

Analisar o comportamento dos termos pequenos quando x\rightarrow+\infty.
  • Para qualquer positivo k temos \dfrac{1}{x^{k}}\rightarrow 0 quando x\rightarrow+\infty.
    Logo
\frac{2}{x^{3}}\rightarrow 0,\qquad \frac{8}{x^{4}}\rightarrow 0,\qquad \frac{2}{x^{4}}\rightarrow 0.
Portanto, ao passar para o limite na expressão do Passo 3, os termos fracionários desaparecem.

Passo 5

Concluir o comportamento do numerador e do denominador separadamente.
  • O denominador da expressão do Passo 3 tende para 1, pois 1-\dfrac{2}{x^{4}}\rightarrow 1.
  • O numerador da expressão do Passo 3 é 3x + \dfrac{2}{x^{3}} - \dfrac{8}{x^{4}}. Como \dfrac{2}{x^{3}} e \dfrac{8}{x^{4}} tendem para 0, o comportamento do numerador é dominado por 3x. Para x\rightarrow+\infty temos 3x\rightarrow+\infty, logo o numerador tende para +\infty.

Passo 6

Usar um resultado simples de limites: se a(x)\to+\infty e b(x)\to L com L\neq 0 finito, então \dfrac{a(x)}{b(x)}\to\pm\infty conforme o sinal de L. Aqui a(x) (o numerador) tende para +\infty e b(x) (o denominador) tende para 1>0. Portanto o quociente tende para +\infty.
Também é possível ver diretamente a forma assintótica:
\frac{3x^{5}+2x-8}{x^{4}-2}\sim \frac{3x^{5}}{x^{4}}=3x\quad\text{quando }x\to+\infty,
e 3x\to+\infty. Ambas as razões chegam à mesma conclusão.

Passo 7

Interpretação do sinal (confirmação): para x muito grande e positivo, 3x^{5}+2x-8 é positivo (pois o termo 3x^{5} domina) e x^{4}-2 também é positivo (pois x^{4} domina), então o quociente é positivo e cresce sem limite. Logo o limite é +\infty.

Resposta

+\infty

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