- Responder a cada item, justificando sua resposta:
Mostrar que a equação
tem raiz.
Mostrar que a equação
Passo 1
O enunciado pede que se mostre que a equação
tem raiz.
Informações fornecidas (explicitadas):
Informações fornecidas (explicitadas):
- A equação é
. - Não há outras condições explícitas (pressupõe-se procura de raiz real).
Passo 2
Definimos a função polinomial associada à equação, porque raízes da equação são exatamente zeros dessa função. Escrevemos a função explicitamente:
Aqui cada termo significa:
é
elevado à sétima potência,
é cinco vezes
ao cubo,
é o termo linear e
é a constante. A raiz que procuramos é um número
tal que
.
Passo 3
Calculamos valores de
em pontos fáceis para tentar achar uma mudança de sinal (isso é uma técnica muito comum: se uma função contínua muda de sinal entre dois pontos, ela necessariamente tem um zero entre eles). Primeiro avaliaremos em
e
.
Calculamos :
Calculamos
Calculamos
:
Portanto,
e
. Observamos que os sinais são opostos entre
e
.
Passo 4
Agora precisamos de um resultado teórico que permita concluir existência de raiz a partir da mudança de sinal: o Teorema do Valor Intermediário (TVI). Vou explicar de forma didática:
-
Intuição do TVI: se uma função é contínua num intervalo e em uma ponta tem valor negativo e na outra ponta tem valor positivo, então ao “caminhar” de um extremo ao outro a função, sem pular valores (é isso que continuidade significa), deve passar por zero em algum ponto do intervalo.
-
Precisão do TVI (forma usada aqui): se
é contínua em e e têm sinais opostos (ou seja, ), então existe pelo menos um tal que . -
Por que polinômios satisfazem a hipótese de continuidade: polinômios são combinações de potências de
com somas e multiplicações por constantes. As funções são contínuas para todo natural, e somas e produtos de funções contínuas também são contínuas. Logo é contínua em todo , portanto em particular é contínua em .
Passo 5
Aplicamos o TVI ao intervalo
. Já verificamos que
é contínua em
e que
e
, ou seja,
. Pelo Teorema do Valor Intermediário, existe pelo menos um
tal que
Isso mostra que a equação
tem pelo menos uma raiz real, e esta raiz está localizada no intervalo
.
Resposta
A equação tem pelo menos uma raiz real; existe
tal que
.