1. Responder a cada item, justificando sua resposta:
    Mostrar que a equação x^{7}+5 x^{3}+x-6=0 tem raiz.

Passo 1

O enunciado pede que se mostre que a equação x^{7}+5 x^{3}+x-6=0 tem raiz.
Informações fornecidas (explicitadas):
  • A equação é \,x^{7}+5 x^{3}+x-6=0\,.
  • Não há outras condições explícitas (pressupõe-se procura de raiz real).

Passo 2

Definimos a função polinomial associada à equação, porque raízes da equação são exatamente zeros dessa função. Escrevemos a função explicitamente:
f(x)=x^{7}+5x^{3}+x-6.
Aqui cada termo significa: \,x^{7} é x elevado à sétima potência, \,5x^{3} é cinco vezes x ao cubo, \,x é o termo linear e -6 é a constante. A raiz que procuramos é um número c tal que \,f\text{(c)}=0.

Passo 3

Calculamos valores de f em pontos fáceis para tentar achar uma mudança de sinal (isso é uma técnica muito comum: se uma função contínua muda de sinal entre dois pontos, ela necessariamente tem um zero entre eles). Primeiro avaliaremos em x=0 e x=1.
Calculamos f(0):
f(0)=0^{7}+5\cdot0^{3}+0-6 = -6.
Calculamos f(1):
f(1)=1^{7}+5\cdot1^{3}+1-6 = 1+5+1-6 = 1.
Portanto, \,f(0)=-6<0 e \,f(1)=1>0. Observamos que os sinais são opostos entre x=0 e x=1.

Passo 4

Agora precisamos de um resultado teórico que permita concluir existência de raiz a partir da mudança de sinal: o Teorema do Valor Intermediário (TVI). Vou explicar de forma didática:
  • Intuição do TVI: se uma função é contínua num intervalo e em uma ponta tem valor negativo e na outra ponta tem valor positivo, então ao “caminhar” de um extremo ao outro a função, sem pular valores (é isso que continuidade significa), deve passar por zero em algum ponto do intervalo.
  • Precisão do TVI (forma usada aqui): se f é contínua em [a,b] e f(a) e f(b) têm sinais opostos (ou seja, f(a)f(b)<0), então existe pelo menos um c\in(a,b) tal que f\text{(c)}=0.
  • Por que polinômios satisfazem a hipótese de continuidade: polinômios são combinações de potências de x com somas e multiplicações por constantes. As funções x\mapsto x^n são contínuas para todo n natural, e somas e produtos de funções contínuas também são contínuas. Logo f(x)=x^{7}+5x^{3}+x-6 é contínua em todo \mathbb{R}, portanto em particular é contínua em [0,1].

Passo 5

Aplicamos o TVI ao intervalo [0,1]. Já verificamos que f é contínua em [0,1] e que f(0)=-6<0 e f(1)=1>0, ou seja, f(0)f(1)<0. Pelo Teorema do Valor Intermediário, existe pelo menos um c\in(0,1) tal que
f\text{(c)}=0.
Isso mostra que a equação \,x^{7}+5x^{3}+x-6=0\, tem pelo menos uma raiz real, e esta raiz está localizada no intervalo (0,1).

Resposta

A equação tem pelo menos uma raiz real; existe c\in(0,1) tal que c^{7}+5c^{3}+c-6=0.

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