Usando a definição de derivada, determine f^{\prime}\left(x_{0}\right), em cada item:
f(x)=\sqrt{x}, \quad x_{0}=2

Passo 1

O enunciado pede para calcular f'(x_0) usando a definição de derivada, onde:
  • A função dada é f(x)=\sqrt{x}.
  • O ponto onde queremos a derivada é x_0=2.
  • Pedido: determinar f'(2) apenas pela definição de derivada (limite do quociente incremental).

Passo 2

Relembrando a definição de derivada (isso é importante — memorize!): a derivada de f em x_0 é o limite do quociente incremental quando x se aproxima de x_0. Em fórmulas:
f'(x_0)=\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}.
Aqui:
  • f'(x_0) é o número que representa a taxa de variação instantânea de f em x_0 (a inclinação da reta tangente).
  • O numerador f(x)-f(x_0) é a diferença dos valores da função (variação vertical).
  • O denominador x-x_0 é a variação horizontal.
    Importante: ao calcular esse limite, consideramos x diferente de x_0 (pois o quociente não está definido em x=x_0); depois observamos o limite quando x se aproxima de x_0.

Passo 3

Aplicando a definição ao caso f(x)=\sqrt{x} e x_0=2, obtemos o quociente incremental:
\frac{f(x)-f(2)}{x-2}=\frac{\sqrt{x}-\sqrt{2}}{x-2}.
Se tentarmos fazer a substituição direta x\to2, teremos a forma indeterminada \dfrac{0}{0}, porque \sqrt{2}-\sqrt{2}=0 e x-2=0. Então precisamos manipular algebricamente esse quociente para eliminar a indeterminação antes de calcular o limite.

Passo 4

Truque clássico: multiplicar por 1 usando o conjugado para racionalizar a diferença de raízes. Multiplica-se numerador e denominador por \sqrt{x}+\sqrt{2}:
\frac{\sqrt{x}-\sqrt{2}}{x-2}\cdot\frac{\sqrt{x}+\sqrt{2}}{\sqrt{x}+\sqrt{2}} =\frac{(\sqrt{x}-\sqrt{2})(\sqrt{x}+\sqrt{2})}{(x-2)(\sqrt{x}+\sqrt{2})}.
No numerador aplica-se a identidade (a-b)(a+b)=a^2-b^2, com a=\sqrt{x} e b=\sqrt{2}:
(\sqrt{x}-\sqrt{2})(\sqrt{x}+\sqrt{2})=x-2.
Portanto o quociente se simplifica para (para x\neq2, o que é permitido dentro do limite):
\frac{x-2}{(x-2)(\sqrt{x}+\sqrt{2})}=\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{2}}.

Passo 5

Agora o limite ficou simples e sem indeterminação:
f'(2)=\lim_{x\to2}\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{2}}.
A função \dfrac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{2}} é contínua em x=2, então basta substituir x=2:
f'(2)=\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{2}}=\frac{1}{2\sqrt{2}}.
Se preferir outra forma equivalente, multiplicando numerador e denominador por \sqrt{2} obtém-se
f'(2)=\frac{\sqrt{2}}{4}.
Valor aproximado para intuição: f'(2)\approx0,35355.

Passo 6

Observação útil para a prova (curtiu o raciocínio?): o mesmo cálculo feito com x_0 genérico mostra que, para x>0,
\lim_{x\to x_0}\frac{\sqrt{x}-\sqrt{x_0}}{x-x_0}=\frac{1}{2\sqrt{x_0}},
ou seja, a derivada geral é f'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}. Aqui só aplicamos essa fórmula ao caso x=2, mas é bom saber para casos semelhantes na prova.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{2}}

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