Usando a definição de derivada, determine
, em cada item:
Passo 1
O enunciado pede para calcular
usando a definição de derivada, onde:
- A função dada é
. - O ponto onde queremos a derivada é
. - Pedido: determinar
apenas pela definição de derivada (limite do quociente incremental).
Passo 2
Relembrando a definição de derivada (isso é importante — memorize!): a derivada de
em
é o limite do quociente incremental quando
se aproxima de
. Em fórmulas:
Aqui:
-
é o número que representa a taxa de variação instantânea de em (a inclinação da reta tangente). - O numerador
é a diferença dos valores da função (variação vertical). - O denominador
é a variação horizontal.
Importante: ao calcular esse limite, consideramosdiferente de (pois o quociente não está definido em ); depois observamos o limite quando se aproxima de .
Passo 3
Aplicando a definição ao caso
e
, obtemos o quociente incremental:
Se tentarmos fazer a substituição direta
, teremos a forma indeterminada
, porque
e
. Então precisamos manipular algebricamente esse quociente para eliminar a indeterminação antes de calcular o limite.
Passo 4
Truque clássico: multiplicar por 1 usando o conjugado para racionalizar a diferença de raízes. Multiplica-se numerador e denominador por
:
No numerador aplica-se a identidade
, com
e
:
Portanto o quociente se simplifica para (para
, o que é permitido dentro do limite):
Passo 5
Agora o limite ficou simples e sem indeterminação:
A função
é contínua em
, então basta substituir
:
Se preferir outra forma equivalente, multiplicando numerador e denominador por
obtém-se
Valor aproximado para intuição:
.
Passo 6
Observação útil para a prova (curtiu o raciocínio?): o mesmo cálculo feito com
genérico mostra que, para
,
ou seja, a derivada geral é
. Aqui só aplicamos essa fórmula ao caso
, mas é bom saber para casos semelhantes na prova.