1. Responder a cada item, justificando sua resposta:
    Mostrar que a equação x^{3}+x-1=0 tem raiz.

Passo 1

O enunciado pede: mostrar que a equação x^{3}+x-1=0 tem raiz (isto é, existe algum x\in\mathbb{R} tal que a igualdade seja satisfeita). Informação dada: a equação polinomial x^{3}+x-1=0. Não há outros dados numéricos fornecidos.

Passo 2

Defino a função auxiliar
f(x)=x^{3}+x-1.
Objetivo prático nesta etapa: procurar dois pontos a e b tais que f(a) e f(b) tenham sinais opostos. Se encontrarmos esses pontos e soubermos que f é contínua entre eles, então existe c\in(a,b) com f\text{(c)}=0. Vou calcular f em pontos simples que dá para fazer de cabeça:
f(0)=0^{3}+0-1=-1,
f(1)=1^{3}+1-1=1.
Portanto f(0)=-1<0 e f(1)=1>0: há troca de sinal entre x=0 e x=1.
Agora uma breve explicação didática: um polinômio é uma soma de potências de x com coeficientes fixos; tais funções são contínuas em todo \mathbb{R} (isto significa que não têm “saltos” — valores intermediários são alcançados ao mover x continuamente). O teorema relevante (explicado em palavras, sem nome técnico exigido) diz: se uma função contínua toma valores de sinais opostos em dois pontos, então ela atinge o valor zero em algum ponto entre eles. Aplicando isso ao nosso caso, como f é contínua e f(0)<0<f(1), existe c\in(0,1) tal que f\text{(c)}=0. Logo, a equação tem pelo menos uma raiz real.

Passo 3

Vou agora justificar que essa raiz é única (isso ajuda no exame: não basta provar existência, pode ser pedido número de raízes). Calculo a derivada de f:
f'(x)=3x^{2}+1.
Observe que 3x^{2}\ge 0 para todo x, então 3x^{2}+1>0 para todo x\in\mathbb{R}. Isso significa que f' é sempre positiva, ou seja, f é estritamente crescente em toda a reta. Uma função estritamente crescente só pode cruzar o eixo x uma vez (se cruzasse duas vezes teria de diminuir em algum intervalo interposto). Portanto existe exatamente uma raiz real da equação x^{3}+x-1=0.
Breve intuição sobre derivada e monotonia: f'(x)>0 indica que ao aumentar x a função sempre aumenta; logo não há como ter dois pontos distintos com f igual a zero.

Passo 4

Para você saber onde fica essa raiz na prática (útil na prova para dar um intervalo), uso o método da bisseção (muito prático sem calculadora): já vimos que a raiz está em (0,1). Faço algumas iterações rápidas e avaliações simples:
  • f(0,5)=0,5^{3}+0,5-1=0,125+0,5-1=-0,375 ⇒ negativo, então raiz está em (0,5,1).
  • f(0,75)=0,75^{3}+0,75-1=0,421875+0,75-1=0,171875 ⇒ positivo, então raiz está em (0,5,0,75).
  • f(0,625)=0,625^{3}+0,625-1=0,244140625+0,625-1=-0,130859375 ⇒ negativo, então raiz está em (0,625,0,75).
  • f(0,6875)=0,6875^{3}+0,6875-1\approx0,3140306473+0,6875-1=0,0015306473 (positivo pequeno) ⇒ raiz está em (0,625,0,6875).
  • f(0,6796875)\approx-0,0062818527 ⇒ negativo. Então a raiz está em (0,6796875,0,6875).
  • f(0,68359375)\approx0,0032258034 ⇒ positivo.
Com essas avaliações a bisseção já reduz a raiz ao intervalo (0,6796875,0,68359375). Isso mostra que a raiz única está aproximadamente em torno de 0,682. Se precisar de mais precisão, continua-se a bisseção o número de vezes desejado.

Resposta

A equação tem exatamente uma raiz real x\in(0,1); aproximadamente x\approx0,682.

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