- Responder a cada item, justificando sua resposta:
Mostrar que a equação
tem raiz.
Mostrar que a equação
Passo 1
O enunciado pede: mostrar que a equação
tem raiz (isto é, existe algum
tal que a igualdade seja satisfeita). Informação dada: a equação polinomial
. Não há outros dados numéricos fornecidos.
Passo 2
Defino a função auxiliar
Objetivo prático nesta etapa: procurar dois pontos
e
tais que
e
tenham sinais opostos. Se encontrarmos esses pontos e soubermos que
é contínua entre eles, então existe
com
. Vou calcular
em pontos simples que dá para fazer de cabeça:
Portanto
e
: há troca de sinal entre
e
.
Agora uma breve explicação didática: um polinômio é uma soma de potências de
com coeficientes fixos; tais funções são contínuas em todo
(isto significa que não têm “saltos” — valores intermediários são alcançados ao mover
continuamente). O teorema relevante (explicado em palavras, sem nome técnico exigido) diz: se uma função contínua toma valores de sinais opostos em dois pontos, então ela atinge o valor zero em algum ponto entre eles. Aplicando isso ao nosso caso, como
é contínua e
, existe
tal que
. Logo, a equação tem pelo menos uma raiz real.
Passo 3
Vou agora justificar que essa raiz é única (isso ajuda no exame: não basta provar existência, pode ser pedido número de raízes). Calculo a derivada de
:
Observe que
para todo
, então
para todo
. Isso significa que
é sempre positiva, ou seja,
é estritamente crescente em toda a reta. Uma função estritamente crescente só pode cruzar o eixo
uma vez (se cruzasse duas vezes teria de diminuir em algum intervalo interposto). Portanto existe exatamente uma raiz real da equação
.
Breve intuição sobre derivada e monotonia:
indica que ao aumentar
a função sempre aumenta; logo não há como ter dois pontos distintos com
igual a zero.
Passo 4
Para você saber onde fica essa raiz na prática (útil na prova para dar um intervalo), uso o método da bisseção (muito prático sem calculadora): já vimos que a raiz está em
. Faço algumas iterações rápidas e avaliações simples:
-
⇒ negativo, então raiz está em . -
⇒ positivo, então raiz está em . -
⇒ negativo, então raiz está em . -
(positivo pequeno) ⇒ raiz está em . -
⇒ negativo. Então a raiz está em . -
⇒ positivo.
Com essas avaliações a bisseção já reduz a raiz ao intervalo
. Isso mostra que a raiz única está aproximadamente em torno de
. Se precisar de mais precisão, continua-se a bisseção o número de vezes desejado.
Resposta
A equação tem exatamente uma raiz real
; aproximadamente
.