1. Responder a cada item, justificando sua resposta:
    Em quais pontos a função f dada por f(x)=x^{2}-9 corta o eixo X ?

Passo 1

O enunciado dá a função f definida por f(x)=x^{2}-9 e pergunta: em quais pontos a função corta o eixo X?\n
Informações relevantes fornecidas:
  • A função é f(x)=x^{2}-9.
  • Cortar o eixo X significa que o valor de f(x) é zero nesses pontos (o eixo X tem coordenada y=0).
  • Portanto, para encontrar os pontos de interseção precisamos achar as soluções da equação f(x)=0.

Passo 2

Escrever a equação que devemos resolver: colocar f(x)=0. Assim temos a equação
x^{2}-9=0.
Isso é uma equação do segundo grau simples. Nosso objetivo é encontrar os valores de x que tornam essa igualdade verdadeira.

Passo 3

Observar que x^{2}-9 é um caso clássico chamado “diferença de quadrados”. A identidade algébrica geral é
a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b),
onde a e b são quaisquer expressões. Essa identidade funciona porque, ao multiplicar (a-b)(a+b), os termos cruzados se cancelam e sobra a^{2}-b^{2}.

Passo 4

Aplicar a identidade ao nosso caso com a=x e b=3. Assim
x^{2}-9 = x^{2}-3^{2} = (x-3)(x+3).
Portanto a equação x^{2}-9=0 fica
(x-3)(x+3)=0.

Passo 5

Usar a propriedade do produto nulo: se o produto de dois fatores é zero, então pelo menos um dos fatores é zero. Aplicando aqui:
x-3=0 \quad\text{ou}\quad x+3=0.
Resolver cada uma:
x-3=0 \Rightarrow x=3,
x+3=0 \Rightarrow x=-3.

Passo 6

Interpretar esses x como pontos do plano que estão sobre o eixo X. Quando f(x)=0 a coordenada y é zero, então os pontos de interseção são as coordenadas (x,0). Com os valores encontrados, os pontos de corte são
(-3,0)\quad\text{e}\quad(3,0).

Passo 7

Verificação rápida (substituir na função):
f(-3)=(-3)^{2}-9=9-9=0,
f(3)=3^{2}-9=9-9=0.
Ambos dão 0, confirmando que as coordenadas encontradas estão realmente sobre o eixo X.

Resposta

(-3,0)
(3,0)

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