Determine os valores das constantes A e B para que a função f seja contínua em \mathbb{R}. f(x)=\left\{\begin{aligned} A \frac{\operatorname{sen} x}{x}+B, & \text { se } x<0 \\\\ 2, & \text { se } x=0 \\\ A \frac{\tan (3 x)}{x}-B, & \text { se } x>0\end{aligned}\right.
Passo 1
O enunciado dá uma função definida por partes e pede para determinar as constantes A\) e \(B\) para que \(f\) seja contínua em \(\mathbb{R}\). As informações fornecidas são:
\[f(x)=\begin{cases} A\,\dfrac{\sin x}{x}+B, & \text{se } x<0,\\[6pt] 2, & \text{se } x=0,\\[6pt] A\,\dfrac{\tan(3x)}{x}-B, & \text{se } x>0. \end{cases}
O enunciado pede especificamente:
Encontrar os valores de A\] e \(B tais que f seja contínua em todo \mathbb{R}.]
Passo 2
Relembrando o que significa continuação num ponto (mini-aula): uma função f é contínua em x=0 se e somente se
\lim_{x\to 0^-} f(x)=f(0)=\lim_{x\to 0^+} f(x).
Isto quer dizer que os limites lateral esquerdo e direito em 0 existem e são iguais ao valor f(0)=2. Para esta função em partes, basta garantir que as duas expressões limite laterais se igualem a 2.
Passo 3
Calcular o limite pela esquerda: usar a expressão para x<0.
Pela linearidade do limite,
Sabemos o limite fundamental (mini‑explicação): \displaystyle\lim_{t\to 0}\dfrac{\sin t}{t}=1. Intuitivamente isso ocorre porque, para ângulos pequenos, \sin t se comporta como t; formalmente pode-se provar por desigualdades (squeeze) ou pelo desenvolvimento em série. Assim
ambos iguais a f(0)=2. Portanto a escolha está correta e garante continuidade em 0. Nas demais x\neq 0 as expressões são combinação de funções contínuas (quando definidas), logo f é contínua em todo \mathbb{R}.