Determine os valores das constantes A e B para que a função f seja contínua em \mathbb{R}.
f(x)=\left\{\begin{aligned} A \frac{\operatorname{sen} x}{x}+B, & \text { se } x<0 \\\\ 2, & \text { se } x=0 \\\ A \frac{\tan (3 x)}{x}-B, & \text { se } x>0\end{aligned}\right.

Passo 1

O enunciado dá uma função definida por partes e pede para determinar as constantes A\) e \(B\) para que \(f\) seja contínua em \(\mathbb{R}\). As informações fornecidas são: \[f(x)=\begin{cases} A\,\dfrac{\sin x}{x}+B, & \text{se } x<0,\\[6pt] 2, & \text{se } x=0,\\[6pt] A\,\dfrac{\tan(3x)}{x}-B, & \text{se } x>0. \end{cases}
O enunciado pede especificamente:
  • Encontrar os valores de A\] e \(B tais que f seja contínua em todo \mathbb{R}.]

Passo 2

Relembrando o que significa continuação num ponto (mini-aula): uma função f é contínua em x=0 se e somente se
\lim_{x\to 0^-} f(x)=f(0)=\lim_{x\to 0^+} f(x).
Isto quer dizer que os limites lateral esquerdo e direito em 0 existem e são iguais ao valor f(0)=2. Para esta função em partes, basta garantir que as duas expressões limite laterais se igualem a 2.

Passo 3

Calcular o limite pela esquerda: usar a expressão para x<0.
Pela linearidade do limite,
\lim_{x\to 0^-}\left(A\,\dfrac{\sin x}{x}+B\right) = A\lim_{x\to 0^-}\dfrac{\sin x}{x} + \lim_{x\to 0^-}B.
Sabemos o limite fundamental (mini‑explicação): \displaystyle\lim_{t\to 0}\dfrac{\sin t}{t}=1. Intuitivamente isso ocorre porque, para ângulos pequenos, \sin t se comporta como t; formalmente pode-se provar por desigualdades (squeeze) ou pelo desenvolvimento em série. Assim
\lim_{x\to 0^-}\dfrac{\sin x}{x}=1 \quad\text{e}\quad \lim_{x\to 0^-}B=B.
Portanto o limite pela esquerda é
\lim_{x\to 0^-} f(x)=A\cdot 1 + B = A + B.

Passo 4

Calcular o limite pela direita: usar a expressão para x>0.
Considere
\lim_{x\to 0^+}\left(A\,\dfrac{\tan(3x)}{x}-B\right) = A\lim_{x\to 0^+}\dfrac{\tan(3x)}{x} - \lim_{x\to 0^+}B.
Para \dfrac{\tan(3x)}{x} faça a substituição u=3x. Então x\to 0^+ implica u\to 0^+ e
\dfrac{\tan(3x)}{x}=\dfrac{\tan u}{u}\cdot 3.
Mini‑aula sobre \lim_{u\to 0}\dfrac{\tan u}{u}: escrevendo \tan u=\dfrac{\sin u}{\cos u} temos
\dfrac{\tan u}{u}=\dfrac{\sin u}{u}\cdot \dfrac{1}{\cos u}.
Como \displaystyle\lim_{u\to 0}\dfrac{\sin u}{u}=1 e \lim_{u\to 0}\cos u=1, segue que \displaystyle\lim_{u\to 0}\dfrac{\tan u}{u}=1. Portanto
\lim_{x\to 0^+}\dfrac{\tan(3x)}{x}=3\cdot 1=3.
Logo o limite pela direita é
\lim_{x\to 0^+} f(x)=A\cdot 3 - B = 3A - B.

Passo 5

Impor a condição de continuidade em 0: ambos os limites laterais devem ser iguais a f(0)=2. Assim obtemos o sistema linear
\begin{cases} A + B = 2,\\[4pt] 3A - B = 2. \end{cases}]

Passo 6

Resolver o sistema (passo a passo):
Some as duas equações para eliminar B:
(A+B)+(3A-B)=2+2 \quad\Rightarrow\quad 4A = 4.
Logo
A = \dfrac{4}{4}=1.
Substitua A=1 em A+B=2:
1 + B = 2 \quad\Rightarrow\quad B = 1.

Passo 7

Verificação rápida (checar): com A=1 e B=1,
\lim_{x\to0^-}f(x)=A+B=1+1=2 \quad\text{e}\quad \lim_{x\to0^+}f(x)=3A-B=3\cdot 1-1=2,
ambos iguais a f(0)=2. Portanto a escolha está correta e garante continuidade em 0. Nas demais x\neq 0 as expressões são combinação de funções contínuas (quando definidas), logo f é contínua em todo \mathbb{R}.

Resposta

A=1
B=1

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