Determine os valores das constantes A e B para que a função f seja contínua em \mathbb{R}.
f(x)=\left\{\begin{aligned} A(x+2)^{2}+B, & \text { se } x<1 \\\\ 3 x+1, & \text { se } 1 \leq x<7 \\\ A(x-5)^{2}-B, & \text { se } x \geq 7\end{aligned}\right.

Passo 1

O enunciado pede para determinar as constantes A\) e \(B\) de modo que a função \(f\) seja contínua em \(\mathbb{R}\). A função é dada por partes: \[f(x)=\begin{cases} A(x+2)^{2}+B, & \text{se } x<1,\\[4pt] 3x+1, & \text{se } 1\le x<7,\\[4pt] A(x-5)^{2}-B, & \text{se } x\ge 7. \end{cases}
Informações relevantes fornecidas:
  • As expressões de f\] em cada intervalo (colocadas acima). - O pedido: achar \(A e B para que f seja contínua em todo \mathbb{R}.]

Passo 2

Conceito essencial que vamos usar (explicadinho): uma função f é contínua em um ponto c se os três valores seguintes existem e são iguais:
  1. o limite pela esquerda \displaystyle\lim_{x\to c^-} f(x);
  2. o limite pela direita \displaystyle\lim_{x\to c^+} f(x);
  3. o valor f\text{(c)}.
Ou seja, f é contínua em c quando
\displaystyle\lim_{x\to c^-} f(x)=\displaystyle\lim_{x\to c^+} f(x)=f\text{(c)}.
Observação prática: polinômios e funções lineares são contínuos em toda parte. Assim, as únicas possíveis descontinuidades da função dada são nos pontos onde a definição muda: x=1 e x=7. Precisamos então garantir continuidade nesses dois pontos.

Passo 3

Continuidade em x=1.
  • Limite pela esquerda (usando a expressão válida para x<1):
\displaystyle\lim_{x\to1^-} f(x)=A(1+2)^{2}+B=9A+B.
  • Valor em x=1 (a segunda parte da definição vale para 1\le x<7):
f(1)=3\cdot 1+1=4.
Para que f seja contínua em x=1 é necessário
9A+B=4.

Passo 4

Continuidade em x=7.
  • Limite pela esquerda (usando a expressão 3x+1, válida para 1\le x<7):
\displaystyle\lim_{x\to7^-} f(x)=3\cdot 7+1=22.
  • Limite pela direita (usando a expressão válida para x\ge 7):
\displaystyle\lim_{x\to7^+} f(x)=A(7-5)^{2}-B=4A-B.
E como f(7) é dado pela terceira expressão (porque 7\ge 7), temos f(7)=4A-B. Para continuidade em x=7 devemos ter
4A-B=22.

Passo 5

Montando o sistema linear obtido das condições de continuidade:
\begin{cases} 9A+B=4,\\[4pt] 4A-B=22. \end{cases}
Vamos resolver por adição (eliminar B). Somando as duas equações:
(9A+B)+(4A-B)=4+22 \quad\Rightarrow\quad 13A=26.
Logo
A=\dfrac{26}{13}=2.
Agora substitui A=2 em uma das equações, por exemplo 9A+B=4:
9\cdot 2 + B = 4 \quad\Rightarrow\quad 18 + B = 4 \quad\Rightarrow\quad B = 4-18 = -14.
Podemos também conferir rapidamente: com A=2 e B=-14,
9A+B=18-14=4 \quad\text{e}\quad 4A-B=8-(-14)=22,
que atendem as duas condições.]

Resposta

A=2
B=-14

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