Determine os valores das constantes A e B para que a função f seja contínua em \mathbb{R}. f(x)=\left\{\begin{aligned} A(x+2)^{2}+B, & \text { se } x<1 \\\\ 3 x+1, & \text { se } 1 \leq x<7 \\\ A(x-5)^{2}-B, & \text { se } x \geq 7\end{aligned}\right.
Passo 1
O enunciado pede para determinar as constantes A\) e \(B\) de modo que a função \(f\) seja contínua em \(\mathbb{R}\). A função é dada por partes:
\[f(x)=\begin{cases} A(x+2)^{2}+B, & \text{se } x<1,\\[4pt] 3x+1, & \text{se } 1\le x<7,\\[4pt] A(x-5)^{2}-B, & \text{se } x\ge 7. \end{cases}
Informações relevantes fornecidas:
As expressões de f\] em cada intervalo (colocadas acima).
- O pedido: achar \(A e B para que f seja contínua em todo \mathbb{R}.]
Passo 2
Conceito essencial que vamos usar (explicadinho): uma função f é contínua em um ponto c se os três valores seguintes existem e são iguais:
o limite pela esquerda \displaystyle\lim_{x\to c^-} f(x);
o limite pela direita \displaystyle\lim_{x\to c^+} f(x);
Observação prática: polinômios e funções lineares são contínuos em toda parte. Assim, as únicas possíveis descontinuidades da função dada são nos pontos onde a definição muda: x=1 e x=7. Precisamos então garantir continuidade nesses dois pontos.
Passo 3
Continuidade em x=1.
Limite pela esquerda (usando a expressão válida para x<1):